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时间:2019-05-20
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1、导数压轴题精选三、解答题:10.已知函数、(,且),其中为常数.如果函数是上的增函数,且函数存在零点(函数为函数的导函数).⑴求实数的值;⑵设、是函数的图象上两点,又(为的导函数),证明:.2610.已知函数,且.⑴若函数在其定义域内为单调函数,求的取值范围;⑵若函数的图象在处的切线的斜率为,且,又已知,求证:;⑶在⑵的条件下,试比较与的大小,并说明你的理由.2610.定义:对于函数,若对于定义域内的任意恒成立,则称函数为上的函数.⑴判断函数是否为其定义域上的函数,并证明你的结论;⑵若函数为上的函数,试比较与的大小;⑶若函数为上的函数,求证:对于定义域内的任意正数、
2、、、,均有成立.2610.对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点.如果函数有且仅有两个不动点、,且.⑴试求函数的单调区间;⑵已知各项不为零的数列满足,求证:;⑶设,为数列的前项和,求证:.2610.设函数.⑴若,求函数的最大值;⑵已知正数、满足,求证:;⑶已知,正数满足,证明:(其中、、、).2610.⑴已知正实数、、满足,求证:;⑵已知,其中,求证:.2610.已知函数(、、).⑴求函数的最小值;⑵证明不等式:,其中、、;⑶证明不等式:,其中、、.2610.已知函数的图象在点处的切线方程为.⑴用表示出、;(2010年湖北)⑵若不等式在上恒成立,求实数的取值范
3、围;⑶证明不等式:.2611.⑴已知函数,求函数的最大值;⑵设、均为正数,证明:①若,则;②若,则.2612.⑴已知函数,其中为有理数,且.求的最小值;⑵试用⑴的结果证明如下命题:设、,、为正有理数.若,则;⑶请将⑵中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当为正有理数时,有求导公式.2613.设是正整数,为正有理数.⑴求函数的最小值;⑵证明:;⑶设,记为不小于的最小整数,例如:、、.令,求的值.2614.⑴已知函数(、),求函数的最大值;⑵①证明:,其中、,且、、;②证明:,其中、,且、、.26导数压轴题精选三、解答题:10.已知函数、(,且)
4、,其中为常数.如果是上的增函数,且存在零点(为的导函数).⑴求的值;⑵设、是函数的图象上两点,(为的导函数),证明:.解:⑴因为,所以.因为在区间上是增函数,所以在区间上恒成立.若,则,于是恒成立.又存在正零点,故,得或与矛盾.所以.由恒成立,又存在正零点,故,所以,即.⑵由⑴,,于是.以下证明.(※)、(※)等价于.令,,在上,,所以在上为增函数.当时,,即,从而得到证明.对于同理可证,所以.评讲建议:此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究26函数中的应用.本题的第一小题是常规题比较容易,第二小题是以数学分析中的中值定理为背景,
5、作辅助函数,利用导数来研究函数的性质,是近几年高考的热点.第二小题还可以这样证明:要证明,只要证明,令,作函数,下略.10.已知函数,且.⑴若函数在其定义域内为单调函数,求的取值范围;⑵若函数的图象在处的切线的斜率为,且,又已知,求证:;⑶在⑵的条件下,试比较与的大小,并说明你的理由.解:⑴,.要使函数f(x)在定义域内为单调函数,则在内恒大于0或恒小于0,当在内恒成立;当要使恒成立,则,解得,当恒成立,所以的取值范围为.⑵根据题意得:,于是,用数学归纳法证明如下:当,不等式成立;假设当时,不等式成立,即也成立,当时,,所以当,不等式也成立,综上得对所有时,都有.⑶
6、由⑵得,于是,26所以,累乘得:,所以.10.定义:对于函数,若对于定义域内的任意恒成立,则称函数为上的函数.⑴判断函数是否为其定义域上的函数,并证明你的结论;⑵若函数为上的函数,试比较与的大小;⑶若函数为上的函数,求证:对于定义域内的任意正数、、、,均有成立.解:⑴是.⑵构造函数,.⑶构造函数为上的增函数,因为,所以,得,即,同理、、,将上述个不等式相加即得所证结论.10.对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点.如果函数有且仅有两个不动点、,且.⑴试求函数的单调区间;⑵已知各项不为零的数列满足,求证:;26⑶设,为数列的前项和,求证:.解:⑴设∴∴由,又∵∴
7、,∴.于是由得或;由得或故函数的单调递增区间为和,单调减区间为和.⑵由已知可得,当时,,两式相减得,∴或.当时,,若,则这与矛盾,∴,∴.于是,待证不等式即为.为此,我们考虑证明不等式.令,则,,再令,,由知,∴当时,单调递增,∴,于是,即,①令,,由知,∴当时,单调递增,∴,于是,即.②由①、②可知.,所以,即.26⑶由⑵可知,则,在中,令,并将各式相加得.即.10.设函数.⑴若,求函数的最大值;⑵已知正数、满足,求证:;⑶已知,正数满足,证明:(其中、、、).解:⑴在上单调递增、上单调递减.⑵构造函数,在上单调递增、上单调递减.⑶当、时结论显然成立;假设时结
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