数值方法 第3章 解线性方程组的迭代法

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1、第3章解线性方程组的迭代法§1Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法（I）迭代概念（1），，，，，M非奇异如果令，那么上式写成（2）此方程组等价于任给，（3）由（3）可以确定，当，即时，有同样满足定义式（3）称为求解（1）的简单形式迭代法，B称为迭代矩阵。（II）Jacobi迭代法84写成分量形式有假定，那么有迭代法为任给即：上式迭代方法称为Jacobi迭代例1.1用Jacobi迭代法解方程组解Jacobi迭代方法为取84方程组的准确解为。若取那么。可取为方程组的近似解。为进行收敛性分析，把迭代方法写成向量形式。，84称为Jac

2、obi迭代的迭代矩阵（III）Gauss-Seidel迭代法Jacobi迭代有可以看出，当计算时，已经计算出来了，一般可以认为要比更接近于。由此可以设想把已经计算出来的分量在计算公式中立刻应用，这样就有这个迭代公式称为Gauss-Seidel迭代公式例1.2取可见，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法“好”把Gauss-Seidel迭代方法写成84令称为Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵，例1.3用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程组有唯一解Jacobi事实上，Gauss-Seidel:84§2迭代

3、方法收敛性（I）向量序列和矩阵序列的极限中向量序列，简单记为。同样，中序列定义2.1设为上的向量范数。如果存在满足那么称收敛于，记由于范数等价性，所以收敛性与所选择范数无关。定义2.1设为上矩阵范数，如果存在满足那么称收敛于A，记为84收敛性与所择范数无关。定理2.1充分必要条件是证：必要性。对任一种矩阵算子范数有充分性，取，其第个分量为1，其它分量为零的向量。那么表示的第列各元素极限为零，取表示的全部元素极限为零。定理2.2设，那么下面三个命题等价（1）（2）（3）至少存在一种从属的矩阵范数，使。证明用反证法：设B有一特征值，。那么存在特

4、征向量，84所以当，不收敛到零向量。根据定理2.1，不收敛到零矩阵，矛盾于（1）。对任，存在一种从属的矩阵范数使由（2），，适当选择，使从而有从而有（II）迭代法的收敛性，A非奇异，满足（1）等价（2）迭代公式（3）定义2.3由迭代公式（3）产生的序列满足那么称迭代法（3）是收敛的。设为（2）的解，即由（3）减去上式有其中由此可以递推得84其中与无关，所以迭代法（3）收敛相当于定理2.3下面三个命题等价（1）迭代法收敛（2）（3）至少存在一种从属的矩阵范数，使得。证明：命题（1）等价于根据定理2.1这条件等价于。由定理2.2，此定理证得最常

5、用的定理叙述如下：定理2.4迭代法；对任收敛的充分必要条件是。实际判别一个迭代法是否收敛，条件较难验证。但可以用B的元素来表示，所以用来作为收敛的充分条件较为方便。例子2.4其中试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的收敛性解84Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代不收敛。例2.5其中试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组的收敛性解84，Jacobi迭代不收敛。Gauss-Seidel迭代收敛例2.6设方程组（1）写出解方程组的Jacobi迭代矩阵，讨论迭代收敛条件

6、。（2）写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵，讨论迭代84收敛条件。解（1）；Jacobi迭代收敛充要条件为，即（2），即Gauss-Seidel迭代收敛的充要条件为，即。（III）迭代的误差估计定理2.5设是方程组的唯一解，为上的向量范数，对应的从属矩阵范数。那么由产生的向量序列满足，84证明：，迭代收敛，；由非奇异。并由迭代格式重复运用可得（IV）特殊方程组迭代法的收敛性84如果A具有特殊性质，那么可利用这些性质来判别迭代法的收敛性。定义2.4（1）如果A的元素满足则称A是严格对角占优（2）如果A的元素满足且上式中至少有一个不

7、等号严格成立，那么称A为（弱）对角占优定理2.6设为严格对角占优，那么A是非奇异的证：用反证法。设A是奇异阵，那么存在使得记的第k个方程这与A严格对角占优矛盾。A非奇异定理2.7设A严格对角占优。那么求解的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代均收敛。证明：Jacobi迭代的迭代矩阵84其中Gauss-Seidel迭代收敛性A严格对角占优，考虑G的特征值设为G的特征值。那么。由于，（为G的特征值）令要证，从而有。Gauss-Seidel迭代收敛用反证法。设满足。利用A是严格对角占优这表明，矩阵C严格对角占优，为非奇异，，这说明满足时

8、不是G的特征值84例2.7用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解其中解Jacobi迭代Gauss-Seidel数值结果看出。二个方法均收敛。事实上A为严格对角占