数值分析--第6章解线性方程组的迭代法

《数值分析--第6章解线性方程组的迭代法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第6章解线性方程组的迭代法直接方法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。1迭代法概述迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法。迭代法的一般格式式中与有关，称为多步迭代法。若只与有关，即称为单步迭代法。再设是线性的，即式中，称为单步线性迭代法。

2、称为迭代矩阵。若和与无关，即称为单步定常线性迭代法。本章主要讨论具有这种形式的各种迭代方法。1.1向量序列和矩阵序列的极限由于中的向量可与的点建立——对应关系，由点列的收敛概念及向量范数的等价性，可得到向量序列的收敛概念。定义6.1设为中的向量序列，，如果其中为向量范数，则称序列收敛于，记为。定理6.1中的向量序列收敛于中的向量当且仅当其中。证明由定义6.2，收敛于，即而对任意，有由极限存在准则得15即定义6.2设为中的矩阵序列，，如果其中为矩阵范数，则称序列收敛于，记为。定理6.2中的矩阵序列收敛于中的矩阵

3、的充要条件为证明留给读者。定理6.1和6.2表明，向量序列和矩阵序列的收敛可以归结为对应分量或对应元素序列的收敛。定理6.3的充分必要条件是其中两个极限的右端分别指零矩阵和零向量。证明对任一种算子范数，有，从而可证必要性。若依次取个单位向量，其中的第个分量为1，其它分量为零。得所以。充分性得证。1.2迭代公式的构造将非奇异线性方程组变形为等价方程组(6-1)由此构造迭代公式(6-2)给定初始向量后，按此迭代公式产生向量序列，当充分大时，以作为方程组的近似解，这就是求解线性方程组的单步定常线性迭代法。称为迭代矩

4、阵。定义6.3如果对任意的初始向量及，迭代法(6-2)得出的向量序列都有成立，其中为一确定的向量，它不依赖于的选取，则称迭代法(6-2)是收敛的，否则称迭代法(6-2)是发散的。显然，若按式(6-2)产生的向量序列收敛于向量，则有即是方程组(6-1)的解。152基本迭代法2.1Jacobi（雅可比）迭代法考虑方程组，即(6-3)其中非奇异，故不妨设。(6-3)等价变形为有(6-4)由此构造迭代公式(6-5)记则。由式(6-3)到式(6-4)的过程用矩阵形式表示为因此式(6-5)的矩阵形式为(6-6)其中。式(

5、6-5)为迭代法的分量形式，它可用于计算迭代近似解；式(6-6)为迭代法的矩阵形式，它主要用于验证迭代法是否收敛及定性分析。算法6.11．输入，维数，，最大容许迭代次数。2．置3．对4．若，输出，停机，否则转5。155．若，置，转3；否则，输出失败信息，停机。2.2Gauss-Seidel（高斯-赛德尔）迭代法在Jacobi迭代法中，是用的全部分量来计算的全部分量的，然而在计算分量时，都已经算出，如果Jacobi迭代法收敛，试想用多迭代一次的代替来计算，可望取得更好的结果。这就是Gauss-Seidel迭代法

6、的基本思想。其迭代公式为(6-7)式(6-7)的矩阵形式为因此迭代法的矩阵形式为(6-8)其中。算法6.21．输入，维数，，最大容许迭代次数。2．置3．计算4．若，输出，停机，否则转5。5．若，置，转3；否则，输出失败信息，停机。2.3SOR迭代法解线性方程组的超松弛法，也叫SOR法，是目前求解大型方程组的一种最常用的方法。是Gauss-Seidal迭代法的一种加速方法。对一个收敛的Gauss-Seidel迭代法，第次的迭代结果一般要比第次的好。第次的迭代结果可看作第次基础上的修正，现在我们引入一个参数，来改

7、变这个修正量。这就是SOR方法的基本思想。记，其中由Gauss-Seidel迭代公式算得。于是有15可以把看作Gauss-Seidel迭代的修正项，即第次近似解以此项修正后得到的近似解。松弛法是将乘上一个参数因子作为修正项而得到新的近似解，其具体公式为即(6-9)按式(6-9)计算方程组的近似解序列的方法称为松弛法，称为松弛因子。当为低松弛，是Gauss-Seidel迭代，当时称为超松弛法，简称SOR法。式(6-9)的矩阵形式为即注意到，有(6-10)其中。算法6.31．输入，维数，，最大容许迭代次数。2．置

8、3．计算4．若，输出，停机，否则转5。5．若，置，转3；否则，输出失败信息，停机。例1用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组15解Jacobi迭代法的迭代公式为(算法语言)取，迭代9次的近似解。容易验证，方程组的精确解为。G-S法的迭代公式为迭代6次的近似解。例2取，用超松弛法求解方程组解迭代公式为3迭代法的收敛性6.1一阶定常迭代法的基本定理定理6.4设，则（零矩阵）的充分必