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《逆用函数求导公式--------构造法解题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、浅议逆用函数求导公式解题在数学公式使用时，我们可以正用，逆用，变形使用公式，如两角和与差的三角公式逆用，可以用辅助角公式解决；线性规划的目标函数，常见的有截距，距离，斜率公式的形式；求定积分的运算就是求导公式的逆用寻找原函数；有些数学试题是两个函数和差积商的导数公式逆用，可以通过构造新函数来解决。本文通过对求导数公式的逆用，构造新函数，并结合函数的单调性，奇偶性来解决问题。背景知识：(1)(2)(3)类型一和差导数公式逆用例1.设函数，在上均可导，且，则当时，有解：构造，，为增函数，即，，选C类型二积的导数公式逆用：例2.设分别是定义在
2、上的奇函数和偶函数,当时,＞0.且.则不等式的解集是_________解：构造，则，为增函数，为奇函数，由，得，结合的图象可得的解集为例3．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．解：构造，由，得，，则当时，，即在是减函数，，，由题意：＞又在是减函数，∴，即，故选例4设是定义在上的可导函数，且满足.则不等式的解集为解：构造，因为，，在定义域上递增函数，所以，，，，解集为例5设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．7解：构造由，得：，即，令，则当时，，即在
3、是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选例6．函数是上的可导函数,时，，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．解：构造函数，，，，当时，，为增函数，当时，故可得，为减函数，,，无零点例7定义在上上的可导函数，满足,，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_________解：构造函数，,为单调增函数，,原不等式等价于,解集为例8．(2013辽宁)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)()．A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值解：
4、令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝，F(2)＝4·f(2)＝.由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得x2f′(x)＝－2xf(x)＝，∴f′(x)＝.令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝.∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.又x＞0，∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0，＋∞)单调递增．∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.例9（2015-04-24太原二模）已知函数f(x)定义域为的
5、，且满足xf′(x)＋f(x)＝，，则下列结论正确的是( )．A．f(x)有极大值，无极小值B．f(x)有极小值，无极大值C．f(x)既有极大值又有极小值D．f(x)既无极大值也无极小值解析：令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝，，令，当时，，单调递减当时，，单调递减，7.∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.例10．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有()A．B．C．D．解：由可得，因为且，所以在上恒成立，所以在单调递减或为非负的常数函数（当且仅当时，都有时，才为常数函数），当在单调递
6、减时，由可得，再由不等式性质中的可乘性可得；当为非负常数函数时，，所以（当且仅当时，等号成立），综上可知，选A.方法二：由，即，设，则，所以在单调递减或为恒大于零的常数函数（当且仅当时，都有时，才为常数函数），当在单调递减时，由，可得即；当为恒大于零的常数函数时，即，根据不等式传递性，方法三：构造函数，，由得，，为单调减函数或常函数，由可得10.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，若，，则的大小关系是（）A．B．C．D．答案C类型三商的导数公式逆用：当出现导数差的形式时，可以考虑商的求导公式例11．已知函数是定义在R上的奇函
7、数，，当时，有成立，则不等式的解集是A．B．C．D．解：构造由当时，有成立,知函数的导函数在上恒成立,所以函数在上是增函数,又因为函数是定义在R上的奇函数,所以函数是定义域上的偶函数,且由得,由,则由得由图可知不等式的解集是.故选A.例12．设函数是定义在上的函数，7其中的导函数为，满足对于恒成立，则A．B．C．D．解：构造，由，知，故函数是定义在上的减函数，即，同理可得，故选A例13设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（）A．B．C．D．与的大小关系不能确定解：令，则，∵对任意x∈R，都有成立，∴在上单调递增，∴，即，∴，故选C．例
8、14设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，,且,解不等式解：构造，则，因为，所以；即函数在上为增函数，，例15．若定义在R上的函数f(x)的导函数为，且满足，则与的大小关系为（）.A、D、不
