高2015级绵阳一诊理科数学试题及答案

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1、绵阳市高2015级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DCDACBACBDBC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．31713．314．(−∞，−)∪(，+∞)15．−16．3935229三、解答题：本大题共6小题，共70分．ADBD17．解：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理=，sin∠Bsin∠BADBD×sin∠B1得sin∠BAD==，…………………………………………4分AD2π2πππ∴∠BAD=，∠ADB=π−−=

2、，6366π5π∴∠ADC=π−=．……………………………………………………6分66π(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．6222在△ACD中，由余弦定理：AC=AD+CD−2AD⋅CD⋅cos∠ADC，23即52=12+CD−2×23⋅CD⋅(−)，……………………………………8分22整理得CD+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分∴BC=BD+CD=4+2=6．113∴S△ABC=×AB×BC×sin∠B=×2×6×=33．……………

3、………12分22218．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，3×2由S3=15有3a1+d=15，化简得a1+d=5，①………………………2分2又∵a1，a4，a13成等比数列，22∴a4=a1a13，即(a1+3d)=a1(a1+12d)，化简得3d=2a1，②……………4分联立①②解得a1=3，d=2，∴an=3+2(n-1)=2n+1．……………………………………………………5分11111∴==(−)，anan+1(2n+1)(2n+3)22n+12n+31111111111n∴Tn

4、=[(−)+(−)+"+(−)]=(−)=．235572n+12n+3232n+33(2n+3)……………………………………………………7分tn(Ⅱ)∵tTn

5、12分19．解：（Ⅰ）由图得，A=2．…………………………………………………1分3π5π3πT=+=，解得T=π，431242π于是由T==π，得ω=2．…………………………………………………2分ωπ2π2π∵f()=2sin(+ϕ)=2，即sin(+ϕ)=1，3332ππππππ∴+ϕ=2kπ+，即ϕ=2kπ−，k∈Z，又ϕ∈(−，)，故ϕ=−，326226π∴f(x)=2sin(2x−)．……………………………………………………3分6π6π3由已知2sin(2α−)=，即sin(2α−)=，

6、6565ππππ因为α∈(0，)，所以2α−∈(−，)，3662π2π4∴cos(2α−)=1−sin(2α−)=．665ππ∴sin2α=sin[(2α−)+]66ππππ=sin(2α−)cos+cos(2α−)sin66663341=×+×52524+33=．………………………………………………………6分10π(Ⅱ)由（Ⅰ）知，g(x)=2λf(x)+cos(4x−)3ππ=4λsin(2x−)+cos(4x−)63π2π=4λsin(2x−)+[1−2sin(2x−)]66π22=−2[

7、sin(2x−)−λ]+2λ+1，…………………8分6π5ππ2π∵x∈[，]，于是0≤2x−≤，121263π∴0≤sin(2x−)≤1．………………………………………………………9分6π①当λ<0时，当且仅当sin(2x−)=0时，g(x)取得最大值1，与已知不符．6π2②当0≤λ≤1时，当且仅当sin(2x−)=λ时，g(x)取得最大值2λ+1，6231由已知得2λ+1=，解得λ=．22π③当λ>1时，当且仅当sin(2x−)=1时，g(x)取得最大值4λ-1，635由已知得4λ-1=，解

8、得λ=，矛盾．281综上所述，λ=．……………………………………………………………12分2x220．解：（Ⅰ）f′(x)=ke−3x．x2由题知方程ke−3x=0恰有三个实数根，23x整理得k=．………………………………………………………………1分xe23x3x(2−x)令g(x)=，则g′(x)=，xxee由g′(x)>0解得02或x<0，∴g(x)在(0，2)上单调递增，在(−∞，0)，(2，+∞)上单调递减．………3分于是当x=0时，g(x)取得极小值g(