基于复形剖分的平面单环机构尺度分类

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1、基于凸包复形剖分的平面机构尺度分类方法赵登峰西南科技大学制造科学与工程学院四川621000摘要：以平面机构位置约束方程奇异性条件和结构参数空间凸包复形剖分方法为基础，研究平面机构尺度分类问题。首先由机构位置方程的奇异性导出机构的尺度分类条件，讨论了分类条件的一般特性并进行初步划分。然后讨论结构参数空间的凸包复形的标示和剖分方法，并研究了凸包复形的特性与机构类型的一般关系。最后讨论凸包复形剖分的一般流程，进行计算机实例分析验证，列出了单环4、5、6杆机构的主要结论。研究表明该表示方法具有较明显的优势，一方面复形的剖分结果中包

2、含了机构尺度类型全部信息，可依据其拓扑结构获得不同尺度类型机构的转换关系；另一方面凸包复形和单形的重心坐标表示方法有以利于机构的尺度确定；此外该方法也比较适合用计算机处理复杂机构的尺度分类问题。关键词：奇异性凸包复形平面机构尺度分类1前言不同尺度类型的机构，工作空间、奇异位形、运动解耦性、性能各向同性等运动性能具有完全不同的拓扑结构。目前数值计算方法对于尺寸已定的机构能够获得精确的数值结果，然而对全局结构及演变的分析则相对滞后，这既限制了人们进行机构分析综合的视野，也对数值处理的初值确定和数值分析结果确认十分不利。因此准确

3、地把握机构性能的全局结构分布特征及随结构参数变化的规律，对于机构分析和综合都有着十分重要的意义，而进行科学的机构尺度分类和表示则是实现这一目标的首要工作。机构尺度类型分析由来已久，著名的Grashof定理对四杆机构分类为最经典范例。此后众多学者从不同的角度将其推广到复杂机构的可动性问题的分析中，TingKL等[1]完成了单环N杆机构的可动性规律研究；杨廷力以及郭为忠等人由单开链出发，确定机构类型的方法都可以看作是Grashof定理的推广[2]。对机构奇异位形和工作空间奇异性进行研究的工作很多[1][3][4][6][7[8

4、][9]，其中王玉新等系统地运用静态分岔理论对五杆机构的尺度类型变化进行了分析[4]。赵登峰等运用微分几何的整体理论分析了连杆曲线和五杆机构工作空间的全局特性[5]。本文首先由机构约束方程的奇异性得出机构的尺度分类条件，这是机构尺度类型区分的本质特性，使分析工作具有牢靠的基础；然后用结构参数空间的复形剖分和复形表示方法来表达尺度类型分布及其转换关系。该表示方法是完备的，包含了机构尺度分类全部信息，十分适合用计算机进行复杂机构尺度分类。2机构的基本变量和约束方程本文分析平面单环n杆机构如图1所示，构件长度参数l=(l1,l2

5、,…,ln)为结构参数空间向量，运动过程中保持常量；构件转动角度θ=(θ1,θ2,……,θn)为运动参数空间向量，运动过程中随时间而变化；各构件通过转动副联接构成单一的封闭环，故应满足位置约束方程(1)l1θn-1θ1θ2θnl2ln-1ln图1平面单环n杆机构机构自由度F（含整体转动自由度）为运动参数数目与约束方程数目之差，即：F=n－2。约束方程在运动参数空间中的解集是嵌入运动参数空间的F维子空间，称为解空间。随着结构参数的改变，解空间的拓扑特性（连同性、伦型等）会发生突变，相应地机构的工作空间结构、奇异位形分布、运动

6、解耦性、性能各向同性等也会发生突变，也就是说在结构参数空间的不同区域中，机构性能全局分布的拓扑特性不同。此外，改变各杆连接次序，位置约束方程保持不变，应当用相对转角φij=θi－θj刻画运动特征，共有n(n－1)/2个相对转角，并称能整周运动的相对转角为整转角。本文将对以下内容进行研究：①依据解空间拓扑特性转变关系，建立机构尺度分类条件。②依据此分类条件对结构参数空间进行剖分分析。1机构约束方程的奇异分析由数学分析理论可知，解空间的拓扑结构突变对应于约束方程式(1)的Jacobi矩阵奇异(2)式(2)是2×n矩阵而非方阵，

7、奇异要求式(2)为降秩矩阵，即任意两列组成行列式均为0(3)式(3)要求机构中各杆同方向或反方向共线，代入式(1)并化简后为(4)式(4)是机构性能拓扑结构的突变条件，也即当结构参数跨越式(4)时，解空间的拓扑特性发生突变，相应地机构一切工作性能的全局结构都发生突变。可以证明这种突变结论与约束方程的具体形式是无关的，是机构尺度分类的本质依据。式(4)中有n个“±”号，但独立方程数目应是2n－1－1，而非2n个。原因有两个：①式(4)乘－1将会是2n个不同方程中的一半重复。②实际机构要求li＞0，n个符号全同的情况将被排除在

8、外。独立方程可根据“＋”号数目k分成n－1组，第k组的数目N(k)为(5)式(5)的第1组满足最长杆等于其余各杆之和，是n杆机构的存在条件；其余各组则是不同机构尺度类型的分类条件。由于奇异条件都是线性方程，它将参数空间剖分成不同的凸包复形（或单形）区域，不同区域中机构性能的拓扑性质不同。此外，需对剖分条