空间曲线的切线与法平面

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1、一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面和法线第六节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.设空间曲线的参数方程为x(t),y(t),z(t),这里假定(t),(t),(t)都在[]上可导设tt0和tt0t分别对应于曲线上的点M0(x0,y0,z0)和M(x0+x,y0+y,z0+z)当MM0,即t0时,作曲线的割线MM0,其方程为得曲线在点M0处的切线方程为一

2、、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为x(t),y(t),z(t),这里假定(t),(t),(t)都在[]上可导过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为向量T(j(t0),y(t0),w(t0))称为曲线在点M0的切向量.通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面,其法平面方程为j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0.一、空间曲线的切线与法平面例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即

3、解:由于对应的切向量为在,故讨论:1.若曲线的方程为yj(x),zy(x),则切向量T?提示:1.曲线的参数方程可视为:xx,yj(x),zy(x),切向量为T(1,j(x),y(x)).曲线x(t),y(t),z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T(j(t0),y(t0),w(t0)).2.若曲线的方程为F(x,y,z)0,G(x,y,z)0,则切向量T?2.两方程可确定两个隐函数:yj(x),zy(x).切向量为T(1,j(x),y(x)),而j(x)

4、,y(x)要通过解方程组得到.例2.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.解.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的法向量

5、法线方程切平面方程曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,例3.求椭球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令解切平面方程为法线方程为例4求旋转抛物面在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.例5.确定正数使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有例6.求曲线在点

6、(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.作业：p-100习题9-63，4，5，8,10