-空间曲线的切线与法平面.pdf

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1、第六节偏导数的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线第六节偏导数的几何应用一、空间曲线的切线与法平面x(t)设空间曲线的方程y(t)(1)z(t)(1)式中的三个函数均可导.zM设M(x,y,z),对应于tt;0000M(xx,yy,zz)M000oy对应于ttt.x0z割线MM的方程为Mxx0yy0zz0Mxyzoyx考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以t,xxyyzz000,

2、xyzttt当MM,即t0时,曲线在M处的切线方程x-xy-yz-z000==.φt()ψt()ωt()000切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.T=φt,ψt,ωt()0()0()0法平面：过M点且与切线垂直的平面.φt()(x-x)ψt()(y-y)ωt()(z-z)0000000tu例1求曲线:xecosudu，y2sint03tcost,z1e在t0处的切线和法平面方程.解当t0时，x0,y1,z2,t3txe

3、cost,y2costsint,z3e,x(0)1,y(0)2,z(0)3,x0y1z2切线方程,123法平面方程x2(y1)3(z2)0,即x2y3z80.特殊地：y=ψx1.空间曲线方程为z=ωx在M(x,y,z)处,000x-xy-yz-z000切线方程为==,1ψt()ωt()00法平面方程为(x-x)ψt()(y-y)ωt()(z-z)0.00000F(x,y,z)02.空间曲线方程为,G(x,y

4、,z)0x-xy-yz-z000==,切线方程为FFFFFFyzzxxyGGGGGGyz0zx0xy0法平面方程为FFFFFFyzzxxy(x-x)(y-y)(z-z)000GGGGGGyz0zx0xy0=0.222例2求曲线xyz6，xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;222设Fx,y,z=x+y+z-6,Gx,y,z=x+y+z则F=x,F=y,F=zx2y2z2G=,G=,G=111xyzFyFz2y2z6GyGzx=111x=

5、y=-1y=-22z=1z=1FF2z2xzx0GGx=111x=1zxy=-2y=-2z=1z=1FxFy2x2y6GGx=111x=1xyy=-2y=-2z=1z=1由此得切向量T{1,0,1},x1y2z1所求切线方程为,101法平面方程为(x1)0(y2)(z1)0,xz0222例2求曲线xyz6，xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程.解2将所给方程的两边对x求导并移项，得dydzdyzxyzx,dxdxd

6、xyzdydz1dzxy,dxdxdxyzdydz0,1,dx(1,2,1)dx(1,2,1)由此得切向量T{1,0,1},x1y2z1所求切线方程为,101法平面方程为(x1)0(y2)(z1)0,xz0二、曲面的切平面与法线设曲面方程为:F(x,y,z)0TnT12在曲面上任取一条通M0过点M0x,y,z000的曲线x=()t12Γ:y=ψt,()z=ωt()曲线在'''M0处的切向量T{

7、x(t0),y(t0),z(t0)},由于Γ在Σ上，故有F()t，ψ()t，ω()t＝0,上式在M处关于t求导，有：'''FM()()t+FM()()ψt+FM()()=0ωtx00y00z00'''FxM0,FyM0,FMz0xt0,yt0,zt00令n=Fxyz{(,,),Fxyz(,,),Fxyz(,,)}x000y000z000切平面方程为则nT,由于曲线是曲面上通过：M0的任意一条曲线，它们在M0的切线都与同一向量n垂直，Fxx,

8、y,z00x-x+Fx,y,z0y(y-y0故曲面上通过0M的一切曲线在点0M0的切线都在000同一平面上+Fx,y,zz0，0这个平面称为曲面在点0z-z0=0M0的切平面.通过点M(x,y,z)而000nT垂直于切平面的直线称M为曲面在该点的法线.法线方程为：xxyyzz000F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)x000y000z000垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在M处的法向量,即n{F(x,y,z),F(