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时间：2019-05-24
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1、绵阳市高2011级第三次诊断性考试数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：每小题5分，共50分．1．D2．A3．B4．C5．D6．C7．A8．B9．B10．C二、填空题：每小题5分，共25分．11．2212．18013．14．9+15．①③④提示：第15题：易判断①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由Δ>0，可得t<0，或t>4，故②错；③不妨设A中a12、n=2时，即有a1<2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．当n=3时，a1a2<3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由≥1×2×3×…×(n-1)，即有n>(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n-1)!，事实上，(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．三、解答题：共75分．16．解：（Ⅰ）由S3，S3、9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6．当q=1时，即得，解得a1=0，不成立．……………………………3分当时，即得，整理得：，即，解得：（舍去），或．…………………………………………………7分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，∴，∵，∴，即ak，ak+6，ak+3（k∈N*）成等差数列．…………………12分甲乙91040539012763217304764617．解：（Ⅰ）画出的茎叶图如右所示．根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．结论二：甲试验田棉花苗比乙试验4、田棉花苗长得整齐．………………………………6分（Ⅱ）ξ的取值为0，1．高三数学（理科）参考答案第6页（共6页），，∴ξ的分布列：ξ01P………………………………………………………11分．………………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）由三角函数的定义有，……………………2分∵，∴，………………………………………………………………4分∴，∴．…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由，得．又，于是，∴，………………8分∴====高三数学（理科）参考答案第6页（共6页5、）ABCDFEGxyzH，即．………………………………12分19．（Ⅰ）证明：取AB的中点G，连结CG．由底面ABCD是梯形，知DC//AG．又∵DC=AB=AG=a，∴四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，∴CG=AB∴AC⊥BC．又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF．∴BC⊥AF．……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）解：连结DG交AC于H，连结FH．∵平面ACEF平面ABCD，由（Ⅰ）知BC面ACEF，DH//BC，∴DH6、面ACEF．即BC、DH分别是四棱锥B-ACEF、D-ACEF的高．在Rt△ACB中，，EF=a．∴．∴．如图，以C为坐标原点，CA、CB、CE为x，y，z轴建立空间坐标系，∴，设面BEF的法向量n1=(x，y，z)，令y=z=1，可得n1，同理可得面DEF法向量n2．高三数学（理科）参考答案第6页（共6页）∴．∴锐二面角D-EF-B的余弦值．………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为（a>b>0），由焦点F2的坐标为(1，0)知a2-b2=1，①再由，整理得y=．∵过7、F2垂直于长轴的弦长8、AB9、=3，∴．②联立①、②可解得a2=4，b2=3．∴椭圆的方程为．………………………………………………………3分（Ⅱ）若l1、l2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，此时，10、P1P211、=4，12、P3P413、=14、AB15、=3，于是=．………………………………………………………5分若l1、l2的斜率均存在且不为0，设l1的方程：，则l2的方程：，联立方程消去x得：，∴∴．同理可得：，∴．高三数学（理科）参考答案第6页（共6页）∴综上知（定值）．………………………………………………9分∵，∴16、，∴．当且仅当，即时，S最小，此时解得，∴四边形P1P3P2P4的面积S最小时，l1、l2的直线方程：．………13分21．解：（Ⅰ）的定义域为，．由，得.∵当时，；当时，，∴在区间上是增函数，在区间上是减函数，∴在处取得最大值．由题意知，解得．…………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知=ln(x+1)-x，当k≥0时，取x=1得，，知k≥0不合题意.当时，设.则.令，得，.①
2、n=2时，即有a1<2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．当n=3时，a1a2<3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由≥1×2×3×…×(n-1)，即有n>(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n-1)!，事实上，(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．三、解答题：共75分．16．解：（Ⅰ）由S3，S
3、9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6．当q=1时，即得，解得a1=0，不成立．……………………………3分当时，即得，整理得：，即，解得：（舍去），或．…………………………………………………7分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，∴，∵，∴，即ak，ak+6，ak+3（k∈N*）成等差数列．…………………12分甲乙91040539012763217304764617．解：（Ⅰ）画出的茎叶图如右所示．根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．结论二：甲试验田棉花苗比乙试验
4、田棉花苗长得整齐．………………………………6分（Ⅱ）ξ的取值为0，1．高三数学（理科）参考答案第6页（共6页），，∴ξ的分布列：ξ01P………………………………………………………11分．………………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）由三角函数的定义有，……………………2分∵，∴，………………………………………………………………4分∴，∴．…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由，得．又，于是，∴，………………8分∴====高三数学（理科）参考答案第6页（共6页
5、）ABCDFEGxyzH，即．………………………………12分19．（Ⅰ）证明：取AB的中点G，连结CG．由底面ABCD是梯形，知DC//AG．又∵DC=AB=AG=a，∴四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，∴CG=AB∴AC⊥BC．又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF．∴BC⊥AF．……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）解：连结DG交AC于H，连结FH．∵平面ACEF平面ABCD，由（Ⅰ）知BC面ACEF，DH//BC，∴DH
6、面ACEF．即BC、DH分别是四棱锥B-ACEF、D-ACEF的高．在Rt△ACB中，，EF=a．∴．∴．如图，以C为坐标原点，CA、CB、CE为x，y，z轴建立空间坐标系，∴，设面BEF的法向量n1=(x，y，z)，令y=z=1，可得n1，同理可得面DEF法向量n2．高三数学（理科）参考答案第6页（共6页）∴．∴锐二面角D-EF-B的余弦值．………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为（a>b>0），由焦点F2的坐标为(1，0)知a2-b2=1，①再由，整理得y=．∵过
7、F2垂直于长轴的弦长
8、AB
9、=3，∴．②联立①、②可解得a2=4，b2=3．∴椭圆的方程为．………………………………………………………3分（Ⅱ）若l1、l2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，此时，
10、P1P2
11、=4，
12、P3P4
13、=
14、AB
15、=3，于是=．………………………………………………………5分若l1、l2的斜率均存在且不为0，设l1的方程：，则l2的方程：，联立方程消去x得：，∴∴．同理可得：，∴．高三数学（理科）参考答案第6页（共6页）∴综上知（定值）．………………………………………………9分∵，∴
16、，∴．当且仅当，即时，S最小，此时解得，∴四边形P1P3P2P4的面积S最小时，l1、l2的直线方程：．………13分21．解：（Ⅰ）的定义域为，．由，得.∵当时，；当时，，∴在区间上是增函数，在区间上是减函数，∴在处取得最大值．由题意知，解得．…………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知=ln(x+1)-x，当k≥0时，取x=1得，，知k≥0不合题意.当时，设.则.令，得，.①
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