矩阵的特征值习题课总

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1、一、内容小结：第四章习题课1、矩阵的特征值与特征向量定义4.2设A为n阶矩阵,含有未知量λ的矩阵λI-A称为A的特征矩阵,其行列式

2、λI-A

3、为λ的n次多项式,称为A的特征多项式,

4、λI-A

5、＝0称为A的特征方程。求特征值和特征向量的步骤：1）计算A的特征多项式

6、λI-A

7、2）求出特征方程

8、λI-A

9、＝0的全部特征值对每个特征值λ0，求出相应的齐次线性方程组(λ0I-A)x=0的一个基础阶系η1,…,ηt，则A的关于λ0的特征向量为：c1η1+…+ctηt命题2：矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一特征值不为零。特征值与特征向量的性质：定理4.1：n阶矩阵A与它的转置矩

10、阵AT有相同的特征值.补充性质2、相似矩阵自反性：A~A.对称性：A~B则B~A.传递性：若A~B及B~C,则A~C.定理4.4:如果n阶矩阵A,B相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立1）相似矩阵有相同的秩2）相似矩阵的行列式相等。3）相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。相似矩阵的性质:矩阵与对角矩阵相似的条件是充分条件，而不是必要条件3、实对称矩阵得特征值和特征向量向量内积2、内积的性质正交向量组定理4.8中的正交向量组必线性无关注意：无关向量组未必是正交向量组。正交矩阵定义4.9：设n阶实矩阵，满足QTQ=I则称Q为正交矩阵1)若Q为

11、正交矩阵,则其行列式的值为1或-1;若Q为正交矩阵,则Q可逆,且Q-1=QT;若P、Q为正交矩阵,则它们的积PQ也是正交矩阵.正交矩阵的性质：定理4.9:设Q为n阶实矩阵，则Q为正交矩阵Q的列(行)向量组是单位正交向量组.单位正交向量组也称标准正交向量组实对称矩阵的特征值和特征向量定理4.10实对称矩阵的特征值都是实数。定理4.11实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的。推论：n阶实对称矩阵有n个实特征根（重根按重数计算）定理4.12设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q使Q-1AQ为对角矩阵。一、求矩阵的特征值与特征向量;及相关的简单证明题主要问题：例2、已知A

12、的特征值λ及相应的特征向量为x，P是可逆矩阵，则P-1AP的特征值为————，P-1AP的特征向量为——————。例4、已知:λ1λ2是A的两不同特征值,相应的特征向量为x1x2，证明：ax1+bx2不是A的特征向量,(a,b为非零常数)例5、A和B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0,B2+B=0,AB=BA=0,证明：1）λ=-1必为A和B的特征值。2)如x1,x2是A和B的特征值λ=-1的特征向量，则x1,x2线性无关。二、矩阵的相似对角化求矩阵的相似对角矩阵及变换矩阵，相关问题的证明。三、关于向量的内积、长度、正交化、单位化四、正交相似对角化和正交矩阵求矩阵的

13、正交相似对角矩阵，相关的证明。