矩阵的特征值总3

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1、第四章矩阵的特征值相似矩阵与矩阵对角化矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量经济管理中的许多定量分析问题，如动态经济模型、计量经济学等，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题。本章主要介绍矩阵的特征值与特征向量的概念、计算方法以及它们的一些性质；相似矩阵的概念和性质；矩阵与对角矩阵相似的充要条件；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化等.特征值与特征向量的基本概念特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的性质第一节方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的基本概念定义4.1(2)特征向量一定非零，即;(3)

2、特征向量总是相对于矩阵的确定特征值而言的.注意：(1)特征值问题是对方阵而言的；例1:试验证是矩阵分别是属于特征值和的特征向量只需验证A=1A=5二、特征方程与特征根式子也可以写成，即：这是含有n个未知数n个方程的齐次线性方程组它有非零解的充分必要条件是系数行列式定义4.2显然,A的特征值就是其特征方程的根,也称特征根.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,n阶方阵A有n个特征值.注意：求特征值和特征向量的步骤：(1)计算A的特征多项式(2)求出特征方程的全部特征值;(3)对每个特征值,求出相

3、应的齐次线性方程组的一个基础解系则A的关于的全部特征向量为：三、特征值与特征向量的求法例4的等价命题：矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一特征值不为零.四、特征值与特征向量的性质定理4.1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.定理4.4设n阶方阵A的n个特征值为例6、设矩阵已知有特征值，求的值和的另一特征值例7、设A,B均为n阶矩阵，证明：AB,BA有相同的特征值。例8、设方阵A满足:2A2-3A-5I=0，证明：2A+I的特征值全不为零。例9、设A是n阶方阵，且证明：A的特征值是1或-11.特征值与特征向量的基本概念2.特征值和特征向

4、量的求法小结解得特征值解得对应于特征值的特征向量3.相关结论：2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．1.阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值．4.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．5.n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.6.设n阶方阵A的n个特征值为7.矩阵A可逆的充要条件是:矩阵A的任一特征值不为零作业P198-1991(2)(4)45