《2.3.2抛物线的简单几何性质》课件1

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1、第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质xyo准线方程焦点坐标标准方程图形xyoFy2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)xyoFxyoFxyoFy2=-2px(p>0)先来研究抛物线y2=2px(p>0)的简单几何性质.lFKMNoyx1、范围2、对称性3、顶点4、离心率x＞0关于x轴对称(0，0)e=1对称轴顶点坐标范围图形xyoFx≥0(0，0)y=0(0，0)y=0y≥0x=0y≤0(0，0)xyoFxyoFxyoFx≤0(0，0)x=0已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M()，求它的

2、标准方程，并用描点法画出图形.所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0)解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且过M()例1xyoM因为点M在抛物线上，所以即:p=2.因此所求抛物线的方程为y2=4x.xyoM求适合下列条件的抛物线方程：(1)顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5，-4)；(2)顶点在原点，焦点是F(0，5)；(3)顶点在原点，准线是x=4；(4)焦点是F(0，-8)，准线是y=8.练习1先定型，再定量例2斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.解法一:由已知得抛物线的焦

3、点为(1，0)xoyBFA所以直线AB的方程为y=x-1①②联立方程组得整理得x2-6x+1=0解得:，将x1，x2代入y=x-1得AB坐标为AB由两点间距离公式得:AB=8.②代入①得(x-1)2=4xxoyBFAdBxoyBFAB’A’解法二:如图设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到准线的距离分别为dA，dB，由已知得抛物线的焦点为(1，0)所以直线AB的方程为y=x-1①由抛物线的定义可知

4、AF

5、=dA=x1+1，

6、BF

7、=dB=x2+1，于是

8、AB

9、=

10、AF

11、+

12、BF

13、=x1+x2+2dAxoyBFAB’A’整理得x2-6x+1=0

14、解得:，于是

15、AB

16、=x1+x2+2=8所以线段的长是8.试比较两种解法将①代入方程y2=4x，得(x-1)2=4x已知抛物线y2=2x，过点Q(2，1)作斜率为1直线交抛物线于A、B两点，试求弦AB的中点M.练习2依照上题的思路：xA+xB=4所以xM=2将xM=2代入y=x-1得yM＝1所以M为(2，1)oxylMlBAl相离相切相交复位回顾：直线与圆的位置关系如何从式子中解得直线与圆的关系？把直线方程代入圆的方程得到一元二次方程计算判别式>0，相交=0，相切<0，相离思考：直线与抛物线有多少种位置关系．xyollMABlCl复位相离相切相

17、交1相交2直线与抛物线的位置关系．1、求直线y=x-1与抛物线y2=4x的位置关系.练习3相交注：得到一元二次方程，需计算判别式.2、求直线y=6与抛物线y2=4x的位置关系.相交注：得到一元一次方程，得到一个交点.已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P(-2，1)，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.例3xyoP解：由题意，直线l的方程为y=kx+2k+1y=kx+(2k+1)y2=4x由方程组(І)xyoP可得ky2-4y+4(2k+1)=0(П)(1)当k=0时，由方程(П)，得y=1把y=1

18、代入y2=4x，得这时，直线l与抛物线只有一个公共点(1/4，1)(2)当k≠0时，方程(П)的判别式为△=-16(2k2+k-1)下面分三种情况讨论.①由△=0，即2k2+k-1=0解得k=-1或k=1/2于是，当k=-1或k=1/2时，方程(П)只有一个解，从而方程组(І)只有一个解，这时，直线l与抛物线只有一个公共点②由△>0，即2k2+k-1<0解得-10解得k<-1或k>1/2于是，当

19、k<-1或k>1/2时，方程(П)没有实数解，从而方程组(І)没有解.这时，直线l与抛物线没有公共点.综上可得:当k=-1或k=1/2或k=0时，直线l与抛物线只有一个公共点当-11/2时直线l与抛物线没有公共点.思考P点位置不同，直线与抛物线的位置关系怎样？xyoPxyoP判断位置关系方法总结把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线相交(一个交点)计算判别式△>0，相交△=0，相切△<0，相离此方法适用于其他各种曲线一顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直

20、线2x-y-4=0所得的弦长为3，求抛物线的方程.练习4直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系的判断方