切蛋糕的联想-分数的组合

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1、切蛋糕的聯想－分數的組合壹、研究動機：班上舉辦了每個月一次的慶生會，同學準備了一個超級大蛋糕，會中，老師切了一半，一半給男生，一半給女生。男女生都自己切切看分到的一半，要怎麼切才會一樣大。因男女生人數不一樣，所以切出來的蛋糕大小也不同。正當大家興高采烈之際，老師說：「我想到一個數學謎題來考考大家的數學反應。」同學絞盡腦筋思考著，終於有兩位同學找出答案了！不過奇怪的是他們的答案卻不一樣！大家心想，到底有多少組答案呢？另外，有同學提出若格子變少，是不是也能找到不同的連續數字呢？後來，就在老師的指導下，全班一起完成下面的研究。貳、題目內容：1題目內容是

2、用10個阿拉伯數字0~9，填入格子內，不可重複。每個分數（甲、乙）的值都是。2□□□□□（甲）＋（乙）＝1□□□□□11即（男生）＋（女生）＝122參、研究目的：一、快速找出答案，並發現數學的規律性。二、從遊戲中學習數學歸納的方法，並怎樣來解決問題。肆、研究問題：簡化算式，從最少的空格來著手，並找尋連續的數字（數字不可重複）。□□一、找出＋＝1的答案，並發現連續的數字。□□□□二、找出＋＝1的答案，並發現連續的數字。□□□□□□三、找出＋＝1的答案，並發現連續的數字。□□□□□□四、找出＋＝1的答案，並發現連續的數字。□□□□314□□□□五、找

3、出＋＝1的答案，並發現連續的數字。□□□□□□□□六、找出＋＝1的答案，並發現連續的數字。□□□□□□□□□□七、找出＋＝1的答案，並發現連續的數字。□□□□□伍、研究過程與方法：□□一、首先找＋＝1（空格數四格）的解。運用分數擴分的方式，找出不同數字的分數。發□□現解只有4組，其中並沒有找到有連續的數字：13142334解答
+=1+=1+=1+=126284668用到的1236124823463468數字※發現：（一）統計所用數字次數如下表：數字1234567890次數233303020010個數字中，2、3、4、6用的最多次，完全沒用

4、到的有5、7、9、0。由於我們□1要找的的值為，而5、7、9、0不可能出現於分母（分母必須為偶數，而0不能□2為分母）；也不能出現於分子（若分子為5、7、9，則分母會超過1位數，分子為0的話則值也為0），所以5、7、9、0不會被用到。（二）4組解中並沒有連續的數字。但發現幾乎都是236、248、468的組合。□□二、尋找＋＝1（空格數五格）的解。剛開始，我們用擴分的方式找不同數字的分數，□□□發現它的解有8組，其中並沒有找到有連續的數字：解答用到的數字解答用到的數字5273
+=101245+=1134671041465382+=101356

5、+=1124681061645492+=101458+=1124891081846493+=112468+=113689128186※發現：315（一）其中最常用的數字是1(每一組都用到1)，被用到最少次的是7(1組)，再來是9(2組)，而3、5、0都只有3組數字1234567890次數8436351523797和9都只能出現在分子，不可能會出現在分母，所以只有會用到”7”，和1418a會用到”9”。至於0只能在分母的個位數，就而言，0只能在c的地方，無法在abc或b。（二）8組解裡面雖然沒有連續的數字，但是有「12468」的組合，跟前

6、面一所述的「248」、「468」很相似。□□□101112三、尋找＋＝1（空格數六格）的解。我們依然用擴分的方式，但因為、、皆□□□20222413有重複的數字，所以從開始找，總共找到24組解（其中找到了有連續的數字），整理如26下：組使用的組使用的組使用的解答解答解答別數字別數字別數字1342933821+=11234689+=123568917+=12346782685867641433143912+=112346810+=112346818+=11237892866287821523413923+=101234511+=112346819+

7、=12347893046827841543514134+=101345812+=101235720+=11234683087028261643524315+=112346813+=102345721+=11234683287048621823544516+=112346814+=103487822+=10124593647089021923644537+=112348915+=123467823+=10345693847289062733814818+=123456716+=112367824+=1124689546762962※發現：15227

8、3（一）有兩組連續的數字：012345（+=1）和234567（+=1），此外，有一組304546316沒有連續的數字：123468，其