切蛋糕的数学问题 2

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1、切蛋糕的学问学校：温州市育英国际实验学校班级：初一（11）班成员：黄纪凯金潇然王小丽指导老师：鲍剑锋联系电话：切蛋糕的学问一．提出问题今年我过生日的时候，爸爸出差回来带来一个大蛋糕，馋得我直流口水。爸爸说：“你先别忙吃，考你一道数学题。”我信心十足地说：“尽管出吧没有什么问题能难得倒我的！”爸爸说：“你先别骄傲，听我的题目：一块蛋糕不能横着切，从上面一刀切下去最多可以切两块，两刀最多可以切四块，那么三刀最多可以切几块，？四刀呢？五刀……二十七刀最多可以切多少块？我想都没想就回答：“这么简单？一刀最多可以切两块，两刀最多可以切四块，三刀最多可以切六块，这样推想下去，二十七刀当然就

2、可以切54块呀！”爸爸说：“错了，其实要使切的数最多，每两刀必须交叉，且三刀以上的刀痕不能交于一点。想知道答案，你可以找一找切的刀数与块数之间的规律。”我陷入了沉思。究竟怎么样切，才能使块数最多呢？”二.探究问题我找了两个朋友一起思考，怎样才能切割出尽可能多的月饼呢？于是我在平面上与朋友一起画了一个圆形进行切割，制作了以下表格：刀数最多块数示意图一刀2块二刀4块三刀7块四刀11块五刀16块…………我们就逐渐发现了一个规律：一刀的最多块数：2=1+1,二刀的最多块数：4=1+1+2,三刀的最多块数：7=1+1+2+3,四刀的最多块数：11=1+1+2+3+4,五刀的最多块数：16

3、=1+1+2+3+4+5……我们从中发现快数是由一个等差数列和多余的一组成的，例如：上面可转化为以下这种形式：一刀的最多块数：（块）二刀的最多块数：（块）三刀的最多块数：（块）四刀的最多块数：（块）五刀的最多块数：（块）……那么，我们推出规律，即n刀的最多块数为：（块）那么27刀就有==379（块）我和朋友高兴地把答案告诉爸爸，爸爸夸奖了我们，还给我们吃了几块美味的蛋糕，我在吃蛋糕的时候又想：图形的切割多少可能与图形的什么有关呢？三．拓展和推广经过上一次的探索，我发现切割蛋糕的规律。那么，切割的多少究竟与什么有关呢？经过初步的思考，我猜测切割的多少可能与图形的面积，形状，所处的

4、空间维度有关。（1）我为了验证“图形的切割与图形的面积有关”，我进行了一个实验：设置一个半径是两厘米，一个半径是四厘米，一个半径是八厘米的圆，用同样的手法切割。就得到一个表格：半径（厘米）248刀数（次）122224443777............n+1+1+1我发现无论进行多少次分割，它是与图形的面积无关的。并且块数m与刀数n的关系为：m=+1所以，图形的分割与图形的面积无关（前提：圆不能缩小为一点！）（2）现在我们来研究“图形的分割是否与图形的形状有关”我与我的小伙伴做出了以下实验：设置一个圆形与一个月牙形，找出这个之间的关联。刀数(次）圆形切割的最多块数月牙形切割的最

5、多块数123246371041115.........n+1+1所以，图形分割与图形形状有关。并且值得一提的是我发现月牙形的规律与三角形数一样的，如图：一刀二刀三刀四刀361015不过，月牙形的切割块数是在第二个三角形数“3”的基础上进行的。（不含不切的情况），因此，再求切n刀月牙形的最多块数时，事实上是在求第（n+1）个三角形数。由此在三角形数的计算公式上叠加了（3-1），于是原来的便变成了，即。（3）对于空间维度，我们可以分三类切割：一维空间，二维空间，三维空间。我们首先分割一维事物，在一维事物中，只有点，线，所以我们就来研究直线的分割吧。经过我们的研究，由于一维空间是不能

6、横切的，如果一横切，这就会变成二维空间。由此得出下列结论：第一刀2段第二刀3段第三刀4段第四刀5段1234所以，在一维空间里，段数=刀数+1二维空间我们已经研究过了，圆形的切割规律：块数=+1（n为刀数）现在我们来研究三维空间的切割规律，我们来研究一个比较典型的三维图形——正方体。刀数（次）最多块数(块）122438415............n+1总结：一，二，三维空间的关系图为刀数（次）段，块，体（个）直线圆正方体122223443478451115............nn+1++1得出结论：在一般情况下，三维切割的个数>二维切割的个数>一维切割的个数（刀数≥3，且二

7、维图形的平面应该与三维图形的一面相似）所以图形的分割与空间维度有关。在数学的海洋与现实中，有没有分割的身影呢？答案是肯定的，例如：如果是一个折线，那它切一刀，两刀，三刀最多能切成几条？一刀的话想都不用想，肯定是3条，我想：这一条折线要把它当成两条线，一次，一条两段，就是四条了，因为这是折线，有两条是连在一起的，所以还要减一，也就是三条了。如果是这样我就可以把一二三刀的最多线条求出来：一刀：（1+1）*2-1=3（条）两刀：（2+1）*2-1=5（条）三刀：（3+1）*2-1=7（条）……n刀