矩阵的秩和初等变换(简)

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1、2.4矩阵的秩1矩阵的秩2矩阵的初等变换3用初等变换求矩阵的秩4线性方程组与矩阵的初等变换本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换，并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大.定义1一.矩阵的秩定义2例1解一般矩阵当行数与列数较高时，按定义求秩很麻烦而对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算.因此自然想到用什么方法可把矩阵化为行阶梯形矩阵,且变化后两个矩阵的秩能相等？现作准备工作，给出－初等变换－的概念！二.矩阵的初等变换定义3矩阵之间的等价关系具有以下性质：可

2、见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数。可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵但两个等价矩阵的秩是否相等？下面定理作出肯定回答定理1：初等变换不改变矩阵的秩初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.证经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.例2解例3解例4解下面内容与求秩无关，进一步化简行阶梯形矩阵，看是什么样子？例5解前面我们已经提出了矩阵秩的一些最基本的性质，归纳起来有：证证以后我们还要介绍两条常用的性

3、质，现在罗列于下：例6证引例线性方程组与初等变换关系－回顾消元法解线性方程组求解线性方程组消元法解方程组解于是解得因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的初等行变换．练习：求解发现：1若A的秩为r,则同解方程组含有r个方程。2同解方程组含方程的个数<变量个数，则有非零解。=系数矩阵的秩得到齐次线性方程组有非零解的判定条件证必要性.(),,nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR

4、<即用反证法，充分性.(),nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.推论：小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);推论：3.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．5.矩阵等价具有的性质4.初等变换6.齐次线性方程组