截面的几何性质

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1、附录附录ⅠⅠ截面的几何性质截面的几何性质xdA一、截面的形心和静矩Ax形心cA(centroid)OydAyAyxycCA静矩静矩(staticmoment)yCCdAASydAyAxczASxdAxAycAx同一截面静矩可正，同一截面静矩可正，可负也可为零。可负也可为零。图形对通过形心的轴的静矩恒为零图形对通过形心的轴的静矩恒为零;;反之，若反之，若图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心，并称该轴为心，并称该轴为形心轴形

2、心轴。。Thestaticmomentoftheareawithrespecttoitscentroidaxisiszero.组合图形的静矩和形心SyddAyASxAxAxcycAA静矩静矩nnnSxSxiAiyci;SyAixci1i1i1100ynnO形心AxAyⅠC20SiciSici1xyyix11iccAAAAC例1：计算组合图形的形心C140SyAx11ccAx222xcⅡAAA121002010140202070

3、mmx100201402020=56.6mm二、惯性矩(Momentofinertia)和惯性积(Productofinertia)2Oy极惯性矩：极惯性矩：IApdyxACy2CCIyAddAxA惯性矩：惯性矩：Az2IxAdyAx惯性积：IxyAdxyAIx2222i,IAiIAd()xydA惯性惯性xAxxpAA半径：半径：IIIy2xyi,IAiyyyA例2：计算矩形对x轴和y轴的惯性矩。2b/2b/2IyAdxA惯性矩：惯性矩：2

4、IxAdyAh/2Oxy3b/2hbh/2dxIy2hdyxb/2123dyybhxIy12例例33：：计算圆形对其直径轴计算圆形对其直径轴xx和和yy的惯性矩。设的惯性矩。设圆的直径为圆的直径为dd。。d4dIIIpxy324ydφxIxIydx64x三、平行移轴公式(Parallelaxistheorem)Oy惯性矩：惯性矩：22IyddAIxAxybxAACxxxc、、yyc为为一对形心轴，一对形心轴，cycx∥xydAc，y∥yc。。则：则：acyIy

5、22d()AyaAdxxcxCAA22yd2AaydAadAAAACC2IaAxc2同理：IyIycbAIxyIaxyccbA例4：求图示T字形截面的形心主惯性矩。1001.确定形心yOxy56.6mm，50mm20CC2.求IIxc，ycCyc1133I2010014020xC14012126441.7610mm176cm132I1002010020(56.610)xyC2012xc1322014014020(

6、9056.6)127441.21110mm1211cm惯性积IxyAd惯性积：xyAOyyxC同一截面惯性积可正，可负也可为零。yCCdAAz若两根正交轴中有一根坐标轴是截面的对称轴，则图形对这对轴的惯性积必为零。x惯性积为零的一对轴，称为平面图形的主惯性轴（主轴）,平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。当主轴通过截面形心时，xc、ycc——形心主轴,Ixc、Iycyc——形心主惯性矩。四、转轴公式(Formulaofrotationofaxes)xODOGGDy1y1

7、OGFEHAx1COFcosAFsinDBxycossinGExOFyADAEDE1AEGF坐标转换的矩阵形式AFcosOFsinx1cossinxyxcossinysincosy1已知：截面对y、z轴的惯性矩、惯性积Iy,Iz,Iyz求解：截面对y1、z1轴的惯性矩、惯性积Iy1,Iz1,Iy1z122Iyd(AyxAcossin)dx112222yAcosdxAsind

8、2xysincosdA1cos2221cos2yAddxAsin2xyAd221cos21cos2III(sin2)xyxy22IIIIxyxycos2Isin2xy22IIIIxyxyIIcos2sin2xx1y22IIIIxyxyIIcos2sin2yx1y22IIxyIIsin2cos2xy11xy2显然IIIIIx11yxyp2Ixy由方程tg2求解出1,2IIxy12Ix