§3 函数的连续性

《§3 函数的连续性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、§3函数的连续性【考试要求】1．理解函数连续性概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．2．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．一、基本概念1．函数连续性定义（1）点连续定义若，则称在处连续．或若，则称在处连续．（2）左、右连续定义若，则称在处左连续；若，则称在处右连续．（3）区间连续定义①若在区间上每一点处连续，则称在内连续；②若在区间内连续，且，，则称在闭区间上连续，或称为上的连续函数．2．函数的间断点及类型（1）间断点若函数满足以下条件之

2、一：①在处无定义；②不存在；③，则称为的间断点．（2）间断点的分类设是的间断点，第一类间断点与均存在.①若，但在无定义，则称为可去型间断点；②若虽在有定义，但，则称为可去型间断点；③若，则称为跳跃型间断点．第二类间断点与中至少有一个不存在.①若与中至少有一个为，则称为无穷型间断点；②若不存在，也不为，则称为振荡型间断点．例如：不存在，是的振荡型间断点．二、重要结论1．连续与左右连续的关系在连续在左、右连续．2．连续函数的性质（1）（四则运算）若，在连续，则，，（）在均连续．（2）（复合函数连续性）若在连续，在连续，则复合函数在连续．（3）

3、（反函数的连续性）若在区间上单调连续，则其反函数在对应区间上单调连续．（4）初等函数在其定义区间上处处连续．3．闭区间上连续函数的定理定理1（有界性）设在上连续，则在上有界．定理2（最值定理）设在上连续，则在上必有最大值和最小值.定理3（介值定理）设在上连续，若在上的最大值为，最小值为，则对，必，使．推论（零点定理）设在上连续，若，则，使．三、典型例题题型1讨论函数的连续性与间断点的类型例1设讨论的连续性，并指出间断点的类型．解当时，为初等函数，处处连续；当时，为的跳跃（第一类）间断点；当时，为初等函数，处处连续.综上所述，在内连续，为的

4、跳跃(第一类)间断点.例2设则下列结论正确的是（）．（A）在处间断（B）在处连续（C）在间断，在连续（D）在连续，在间断解由题意知，只讨论分段点处的连续性即可.当时，所以是跳跃（第一类）间断点；当时，所以在处连续.故选（C）正确.例3讨论的连续性．解先求的非极限表达式，再讨论其连续性.当时，；当时，；当时，，下面讨论的连续性.当或时均连续；当时，为的跳跃（第一类）间断点；当时，为的跳跃（第一类）间断点.例4求的间断点，并指出其类型．解由的定义域可知，又由知，即是的间断点.下面讨论其类型：当时，是的无穷型（第二类）间断点；当时，是的可去（第

5、一类）间断点，可补充定义使在处连续；当时，是的无穷（第二类）间断点.例5设，则（）．（A）都是的第一类间断点（B）都是的第二类间断点（C）是第一类间断点，是第二类间断点（D）是第二类间断点，是第一类间断点解当时，，所以是的无穷（第二类）间断点；当时，所以是跳跃（第一类）间断点，故选（D）正确.注因为不存在，是的无穷（第二类）间断点.题型2复合函数的连续性例1设研究的连续性．提示：先求出，再讨论连续性．解当或时，均连续；当时，为的跳跃（第一类）间断点.题型3利用连续性确定常数例1设在处连续，求常数．解.例2试确定的值，使同时具有无穷间断点及

6、可去间断点．解取任意实数时，都是的无穷间断点；又存在，由于分母的极限为所以分子的极限为.即存在，，即.因此，当时，与分别是的无穷间断点与可去间断点.例3设问为何值时，在处连续；为何值时，是的可去间断点..，由或.当时，在处连续；当时，是的可去间断点.题型4有关闭区间上连续函数命题的证明提示:（1）直接证法：先利用最值定理，再利用介值定理得结论．（2）间接证法：作辅助函数，由零点定理得结论．（3）辅助函数的构造法：①把结论中的（或）改写为；②移项，使等式右端为零；③非零的一端设为．例1证明方程至少有一个实根．证将结论移项得作辅助函数，令，则

7、在内连续，且在上连续，由零点定理知，，使即方程至少有一实根.例2设在上连续，且，证明，使得，其中．证明利用最值定理和介值定理将结论变形，即证.在上连续，最大值和最小值，使对，有，即有对，有，即，又由介值定理知，使，故结论成立.例3设函数在内连续，,且，证明，使．证明因为，所以因为在内连续，在上有最大值和最小值，即有由介值定理知，使.例4设在上连续，且，证明，使．解令，则，设，显然在上连续，因为,所以.当时，或均可作为，结论成立.当时，有，由零点定理知，使得，即.综上所述，，使.例5设在上连续，且，证明，使．提示：令，寻找子区间，使，再利用

8、零点定理即得结论．证明设，则在上连续，由极限定义可知，，使得，由极限定义可知，，使得于是，由零点定理知，，使即.例6设在上连续，且，，证明，使．提示：用导数定义和极限的局部保号性，寻找一子区间