§1.4 函数的连续性

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1、一、函数的连续性二、函数的间断点三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质第一章函数、极限和连续§1.4函数的连续性一、函数的连续性定义设函数y=f(x0)在x0的某一邻域内有定义，如果则称函数在处连续。函数y=f(x)在x0处点连续设函数在的某一邻域内有定义，如果则称函数y=f(x)在x0处点连续例1证由定义知定理在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,例2解右连续但不左连续,例3证明在处连续，证明：二、函数的间断点可去间断点例4解是间断点可去注意可去间断点只要改变或者

2、补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.在此例中,则函数y=g(x)在x=1处连续跳跃间断点例5解跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.是间断点跳跃第二类间断点例6解是间断点第二类该间断点也称为无穷间断点例7解间断点：1、函数在连续，求k2、函数在连续，求k练习：3、求函数的间断点（1）解：（2）解：（3）解：是可去间断点是无穷间断点三、初等函数的连续性定理1例如,1、四则运算的连续性2、复合函数的连续性意义1.极限符号可以与函数符号互换;定理2设函数由函数与函数复合而成。若函数在点连续，则有注意定理3是定理2的特殊情况.定理3设函数由函数与函数复合而成

3、。若在点连续，且，而函数在点连续，则复合函数在点也连续.3、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;注意例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.例9例10解解注意2.初等函数求极限的方法代入法.例11求解：原式例12求解：原式1、(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.四、闭区间上连续函数的性质注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理

4、不一定成立.2、零点存在定理与介值定理几何解释:推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例12证由零点定理,三、小结：（1）重点要掌握函数的连续定义，会判定函数在一点连续、间断；（2）会利用函数的连续性求极限。四、作业：P23：1、2、7（2）（8）