二一类平面D变映射的分歧和混沌等

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1、第29卷第1期上海师范大学学报(自然科学版)o1．29No．12000年3月o1ShanghaiTeacfsUnLv(NaturalSciences)M200O一二一类平面D等变映射的分歧和混沌c垣蛊华，盈(．二海师范大学教学科学学院，上海200234)摘要：讨论了～类平面等变映射的分歧和混沌，计算显示出这一类平面等变映射琏着参数的变化其解发生倍周期分歧矾而走向混沌，混沌吸引子由z对称发展到D对称的全过程．关键词：壬亘蕾旺也信鼬盆苎；婆哩!!于彳吱、中图分类号：0415．5；O177．91文献标识码：文章编号：1000．

2、5137(2000)01—0021—070引言自从cHOssATP和GOLuBITsKYM的文章Ⅲ发表以来，z等变的一维映照经由倍周期分歧走向混沌以及其混沌吸引子的对称性增加的过程和机理已经逐渐被人们所认识平面J[等变映照经常出现在具体的物理系统中-．本文的目的是通过对一类等变映射的分析和计算，揭示出在这一类D等变映照通过倍周期分歧走向混沌，其混沌吸引子由zz对称发展到D。对称的全过程计算显示出在这一类D。等变映射中存在极其丰富的分歧和混沌现象．本文的§2将推导出平面D等变映射的一般形式，从而说明我们研究的这一类D等变映

3、照是有代表性的在§3中讨论了这一类D等变映照不动点的个数及其稳定性．数值结果在§4中给出，显示出D等变映照中丰富的分歧和混沌现象1平面D。等变映照的一般形式考虑复平面上多项式映射g(2)：∑b，bjC-C，(1．1)收稿日期：1999—09—23基盘项目：上海市高校科技发展基金项目(97DJ02)，国家自然科学基垒项目(19971057)作者简介：扬忠华(1942)．男，上海师太数学科学学院教授，博士生导师．郭谦(1976一)，男，上海师大数学科学学院研究生．Z2上湃师范大学学报(自然科学版)2000韭满足等变条件：(i

4、)g(；)一；(1．2)(ii)(譬)一一等(z)．(1．3)由(1．2)式可知一，于是∈R．由(1．3)式可知∑。“一警一∑擎一于是一；1(rood3)．因此在(1．1)式中存在下列各项：三卜，i一，i’一，一(j—O)，，，一(矗一0)，．Zg+2．一(一1)z三2．z3+3互2。。三2．“(矗一2)‘，z3+i+『斗‘．-．一，)令一，一生，显然，∈R，Z一Z‘(磊)‘一z卅，，一0，1，2⋯Z“”州一(+≯)z州”+l～()ZU+I一(1．4)2∞‘‘一H三

5、，一0。1，2⋯说明第2行第3列以后各项z+均可由Z一

6、“．z生成Z“H”-1一(+)Z卜一(五)Z+1卜1—2vz。-一“三。“--，一0，1．2⋯(1．5)又Z一(Z+)～(五)三

7、一，．(1．6)Z=(Z4-)≯-。一()一z．(1．7)由(1．4)式可知z+1(2，3⋯)可由和生成，由(1．5)式可知三一(3，4⋯)可由和三‘生成·再由(L6)式和(1．7)式可知和7．fi-I可由z和三2生成，于是平面D等变映照的一般形式为(z)一p(u，v)z+q(u，)三2，其中“一，一￡专兰，户，口均为，的实函数．2一类平面D3等变映照的不动点及其稳定性为了进行具体分析，取；一

8、1，口一0，y一一0．5，，0，^)一(-“+a)z～0．5z，“：zi,，(2．1)夸=+，则f(z，^)一[～(+)++)-0．5(x-iy)z一-x(x+)'2)+k—o．5(一+)+一(下)++．分离不动点方程f(z，^)；。的实部和虚部可得第1期扬忠华等：一共平面D，等变睫射的分歧和棍沌J—x(x+yZ)+一0．5(x一，)一z(2．2)【E一(+ya)++x]y=Y当<15时，只有一个不动点一0．当^一15时，存在4个不动点：2一0铲{一={+孚=吉一孚当15时(除了一1以外)，有7个不动点=0，1+】6一1

9、516一15+(+一l】／2J+：16^一15^8一孚(一^一1]1～16^一15ZS=一+孚(1)I，生≈叠一年0(1+,／一1R6~-1g十H^1'8当^一1时，上述7个不动点合并为4个不动点：z一o，‰一一1，‰一{十，z：i1一T丁，下面讨论在这些不动点处的稳定性．不动点方程(2．2)的Jacohian矩阵一f【一。一++一2xy+]一2xy+一3}一++J。(2-3)在一0处(．于是当X1时，不动点。不稳定．1十√16^一15在不动点≈一处一3／二±】6一】5】+、丽40Jz=01十

10、、丽1++1+．／=1i4／√16^一153—20801——(二匿三匦8上海师范大学学报(自然科学舨)2000正简单的计算表明仅当1<^<时√16一15l3—2^此时却恒有3(1一／丁)8>1于是不动点恒不稳定．显然，=争=B．或者4cos一sin4sincos22cos一S1n—．227rsIn—C0S于是在不动点