一个具有时滞和捕食者、食饵均具有阶段结构的捕食模型

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1、第32卷第1期工程数学学报v01．32N0．12015年02月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSFeb．2015doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2015．01．008文章编号：1005—3085(2015)01—0072—13一个具有时滞和捕食者、食饵均具有阶段结构的捕食模型木王玲书。冯光辉(1一河北经贸大学数学与统计学学院，石家庄050061；2．军械工程学院基础部数学教研室，石家庄050003)摘要：本文研究一个具有时滞和捕食者、食饵均具有阶段结构的捕食模型的稳定性．

2、首先，通过分析特征方程，运用Hurwitz判定定理，分别给出了该模型的边界平衡点和正平衡点局部稳定的充分条件，并得到了该模型在正平衡点存在Hopf分支的充分条件；其次，运用无穷维动力系统的一致生存定理，得到了该模型持续生存的充分条件；最后，通过构造适当的Lyapunov泛函，运用LaSall不变集原理，分别给出了该模型边界平衡点和正平衡点全局稳定的充分条件．关键词：捕食模型；时滞；阶段结构；全局稳定分类号：AMS(2000)34A37；92D25中图分类号：O175．1文献标识码：A1引言自然界中，物种的增长常常有一个成长发育的过程，即从

3、幼年种群到成年种群，从不成熟到成熟，从成年到老年等．而且在其成长的每一个阶段都会表现出不同的特征，如幼年种群没有生育能力和捕食能力；而成年种群则不仅具有生育能力而且具有捕食能力．因此，考虑具有阶段结构的种群模型更具有实际意义．近年来，具有阶段结构的种群模型引起了许多学者的关注【1-6]．在文献⋯中，Aiello和Freedman提出并研究了一个包含幼体和成体两个阶段的单种群增长模型，该模型描述了由幼体到成体所需要的成熟时间(时滞)对种群增长的影响．在文献f31中，Wang与Chen研究了一个捕食者具有阶段结构的两种群捕食模型，并分析了阶段

4、结构对捕食模型的动力学性态的影响．徐瑞等在文献【5】中研究了一个食饵种群具有阶段结构的两种群捕食模型，并讨论了捕食者种群从幼年到成年的成熟期以及由捕食者种群负反馈所引起的时滞对种群动力学性态的影响．以往的文献大多集中在讨论捕食者或食饵具有阶段结构的两种群捕食者一食饵相互作用模型，本文研究一个捕食者和食饵均具有阶段结构的两种群捕食者一食饵相互作用模收稿日期：2013-07-01．作者简介：王玲书(1976年6月生)，女，副教授．研究方向：生物数学基金项目：国家自然科学基金(11101117)；河北省教育厅基金(QN2014040)．第1期王

5、玲书，冯光辉：一个具有时滞和捕食者、食饵均具有阶段结构的捕食模型73其中型，并讨论由捕食者种群的妊娠期所引起的时滞对种群动力学性态的影响．为此，我们研究下列具有时滞的微分系统J：l(t)=rx2(t)一(dl+r1)Xl(t)，圣2(t)=rlXl(t)一d2x2(t)一n(t)一alx2)2)，(1)4+0(t)=a2x2(t一7-)@一7-)一(如+T2)(￡)，=r●‘L，，2(t)：r2yl(t)一d4y2(t)一；(t)，l其中(t)和X2(￡)分别表示幼年食饵和成年食饵在时刻t的密度，Yl(t)和2(t)分别表示2幼年捕食者和

6、成年捕食者在时刻t的密度．参数r>0表示食饵种群的出生率，r>0表34示从幼年向成年的转化率，a>0表示成年食饵的种内竞争率，d1>0，d2>0，d3>、l，0和d4>0分别表示幼年食饵、成年食饵、幼年捕食者和成年捕食者的死亡率，a>0表示捕食者种群的捕获率，a2a表示捕食者种群的生育转化率，b>0表示成年捕食者的种>一0内竞争率．丁20表示捕食者种群的妊娠期．模型(1)假定只有成年捕食者种群捕食成年．0食饵，并且只有成年捕食者才有生育能力．．上=本文我们将基于以下初始条件讨论系统(1)234Xl(0)=1()0，z()=2()0，、Lr

7、J1()=1()0，y2(e)=2()0，0∈[_7_，0)，．(2)1(0)>0，2(0)>0，1(0)>0，2(0)>0，()，2()，()，2()∈([一7-，0]，0)，由泛函微分方程的基本理论【】易知系统(1)存在唯一满足初始条件(2)的解．易证系统(1)满足初始条件(2)的所有解在[0，+o。]上有定义且保证恒正，本文我们将系统(1)满足初始条件(2)的解称为正解．2平衡点的局部稳定性容易验证，系统(1)总存在一个平凡平衡点Eo(O，0，0，0)；当1>d2(1+d1)时，系统(1)存在一个捕食者灭绝的平衡点E+(对，，0，0

8、)，其中+一rif——t1-d!!d1)]+一rrl—d2(rl+d1)一’一—。当条件(H)：>—d4(r2-~-d3)—n(7’1+d1)a2r274工程数学学报第32卷成立时，系统(1)