利用旋转图形作辅助巧妙解题

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1、利用旋转图形作辅助巧妙解题利用旋转图形作辅助图形，能很巧妙地解决一些难解的数学题，本文就近年的几道中考题和竞赛题作分析，共同感受这种方法的巧妙。例1、如图，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M和N，使∠MCN=45°，则以AM、BN、MN为边组成的三角形为（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、无法确定。分析：把△AMC绕点C逆时针旋转90°到△BDC位置，易知BD=AM、BD⊥AB，由∠MCN=45°，∠MCD=90°得∠NCD=45°；∴∠MCN=∠NCD，又MC=CD，CN公共，可证△MCN≌△DCN，∴M

2、N=DN这样把AM、BN、MN三条线段转化到△NBD中使问题得以解决。选（B）点评：利用旋转使线段AM、BN、NM集中到一个三角形中，这是一种较高难度的转化。例2、如图，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=1，PB=，PC=2.求∠APC的度数。分析：把△APC绕点A顺时针旋转60°到△AQB位置，易知BQ=PC，易证△AQP为等边三角形，得PQ=AP，这样把PA、PB、PC三条线段转化到△QPB中，由PA=1，PB=，PC=2，判断△QPB为直角三角形，∠QBP=30°，∠BQP=60°∴∠APC=∠AQB=120°点评：利用旋转

3、使线段PA、PB、PC集中到一个三角形BPQ中，有效利用条件求角度。例3、如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠BDE=90°连接AE、CD。求证：AE=CD.分析：把△CBD绕点C顺时针旋转90°到△CAF位置，易知△CFD为等腰直角三角形，DF=CD由旋转可证AF⊥BD且AF=BD又ED⊥BD且ED=BD，可知AF∥ED且AF=ED，∴四边形AFDE为平行四边形，∴AE=DF，∴AE=CD点评：利用旋转使线段AE、CD集中到一个三角形CDF中，使问题得以解决。例4、如图，直线AB:与x轴交于A点，与y轴交

4、于B点，P为反比例函数（x＞0）上一动点，PC⊥OA于C，交AB于E，PD⊥OB于D，交AB于F，连OE、OF，当点P运动时，∠EOF的度数是否发生变化，若不变，求出其度数。分析：由直线AB:可知△AOB为等腰直角三角形，可判断△BDF、△FPE、△ECA都是等腰直角三角形，把△BFO绕点O顺时针旋转90°到△AGO位置，易知BF＝AG，OF＝OG，∠OAG=∠OBF=45°∴∠GAB=90°EG2＝EA2＋GA2设P（ｍ，ｎ），ｙF＝ｎ，ｘF=１－ｎ，PF＝ｍ－（1－ｎ）＝ｍ＋ｎ－1，EF2＝2PF2＝2（ｍ＋ｎ－1）2＝2（ｍ2＋

5、ｎ2＋1＋2ｍｎ－2ｍ－2ｎ）,由P为反比例函数的点，可知ｍｎ，EF2=2（ｍ2＋ｎ2＋2－2ｍ－2ｎ）又EA2＝2EC2＝2（1－ｍ）2=2（1－2ｍ＋ｍ2）GA2＝BF2＝2DF2＝2（1－ｎ）2=2（1－2ｎ＋ｎ2）EG2＝EA2＋GA2＝2（ｍ2＋ｎ2＋2－2ｍ－2ｎ）＝EF2，得证EF＝EG，∴△FOE≌△GOE，∠EOF＝∠EOG∠FOG=45°例5、如图，抛物线交x轴于A、B两点，D（3，4）为抛物线上一点，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标。分析：把线段DB绕点D顺时针旋转90°到DQ位置，易

6、知△BDQ为等腰直角三角形，∠DBQ=45°∴P为BQ与抛物线的交点，可求B（4，0）又D（3，4）、由旋转可知Q（－1，3）可得直线QB：从而求出交点P的坐标（）例6、如图，直线AB：，与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为反比例函数上一点，若∠ABM=45°，求点M的坐标。分析：把线段AB绕点A逆时针旋转90°到AC位置，易知△BAC为等腰直角三角形，∠ABC=45°，∴M为BC与双曲线的交点，由直线AB：可知A（－1，0）、B（0，－2），由旋转可求点C（1，1）,可求直线BC：从而求出M的坐标（，2）