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1、第22卷第5期黑龙江大学自然科学学报Vol22No52005年10月JOURNALOFNATURALSCIENCEOFHEILONGJIANGUNIVERSITYOctober,2005求解无穷线性方程组崔明根,郑毅(哈尔滨工业大学(威海)数学系,山东威海,264209)摘要:利用再生核空间讨论了无穷线性方程组的求解,给出了无穷线性方程组Ay=b精确222解的表达式.假定A是ll的有界线性算子,建立l和再生核空间的1-1映射,将方程Ay=b转化为再生核空间中的方程Ku=f,给出Ku=f的精确解u的表达式;最后给出无穷线性方程组的
2、精确解.实际数值计算中,因为方程Ku=f的精确解是以级数形式给出的,级数截断得到近似解,从而得到无穷线性方程组Ay=b的近似解.还给出了无穷线性方程组有解的充分必要条件.关键词:无穷线性方程组;再生核空间;算子方程中图分类号:O2416文献标识码:A文章编号:1001-7011(2005)05-0619-091引言1962年,Kontorovich在[1]中对正则无穷方程组X-AX=b(1)的迭代法的收敛性进行了讨论,其中A=(aij)i,j=1是满足条件2!aij>(2)i,j=1T2T2的无穷矩阵,而X=(x1,x2,∀)#l,b=(b1,b2,∀)
3、#l,而A满足1-!
4、aij
5、>0(正则条件)i,j=1他又在文献[2]中证明了当条件(2)成立时方程(1)的截断方程Xn-AnXn=bn(3)nTT的收敛性,其中An=(aij)i,j=1,Xn=(xn1,xn2,∀,xnn),bn=(bn1,bn2,∀,bnn).但以后很长时间在文献中很少见到关于无穷方程组的讨论.2002年,文献[3]只讨论了关于无穷线性方程组结构的特殊问题.本文将给出无穷线性方程组Ay=b(4)的精确解的表达式,这种表达式是通过以下步骤给出的:221.假定A是ll的有界线性算子;212112.建立了l和W2[0,1]的1-1映射:l
6、W2[0,1].其中,W2[0,1]的定义见参考文献[4];13.将方程(4)转化为W2[0,1]中的方程Ku=f(5)1-1其中,u#W2[0,1],f=b,K=A;收稿日期:2004-07-13作者简介:崔明根(1942-),男(朝鲜族),教授,博士,博士生导师,主要研究方向:逼近论,再生核理论,E-mail:cmgyfs@263.net∋620∋黑龙江大学自然科学学报第22卷4.给出方程(5)的精确解u的表达式;-15.最后,通过y=u给出无穷线性方程组(4)的精确解.本文又给出了方程(4)的解存在的充要条件
7、.方程(5)的精确解是以级数形式给出的,级数截断便得到了近似解un,从而给出了(4)的近似解y.这n种近似解是以显式表达式表示的,并且具有保证收敛等特点.1文献[4]中定义了W2[0,1]空间:12定义1.1W2[0,1]={u(x)
8、u(x)在[0,1]区间上是绝对连续的实值函数,而且u∃(x)#L[0,1]}.11在W2[0,1]中规定内积如下:对于u(x),v(x)#W2[0,1],令11(u,v)=%uvdx+%u∃v∃dx001/21而范数&∋&=(∋,∋).[4]中证明了W2[0,1]空间是一个Hilbert空间,并对每一个x#[0,1],存在一个
9、函数1Rx(y)={cosh(x+y-1)+cosh(
10、x-y
11、-1)}(6)2sinh11使对于任意u(y)#W2[0,1],有(u(y),Rx(y))=u(x),称Rx(y)为再生核.设113135713=,2,2,3,3,3,3,4,4,∀={p1,p2,p3,∀}(7)222222222显然为区间[0,1]的稠密集.记1Rp(x)=!i(x)#W2[0,1](8)i1文献[4]中又证明了{!i(x)}i=1为W2[0,1]的一组完全基.将{!i(x)}i=1做Schmidt正交化,得i!i=!∀ik!kk=1(9)i!i=!#ik!kk=111其中∀
12、ik是正交化系数,{!i(x)}i=1为W2[0,1]的一组标准正交基.对每个u(x)#W2[0,1],有u(x)=!(u(x),!i(x))!i(x)(10)i=1212l空间到W2[0,1]空间的一个保范算子212定义2.1算子:lW2[0,1],其中对每个y=(y1,y2,∀)#l,有y=!yi!i(x)(11)i=121定理2.1算子:lW2[0,1]具有如下性质:(1)为一一映射(2)为保范算子(3)为线性有界算子*-1(4)的共轭算子=.第5期崔明根等:求解无穷线性方程组∋621∋证明2122(1)对任意的y#l
13、,y=!yi!i(x
