求解线性方程组

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1、《线性方程组求解》实验报告实验名称：线性方程组求解 成绩：___________专业班级：数学与应用数学1202班 姓名：张晓彤学号：2012254010227实验日期： 2014年11月21日实验报告日期：  2014年11月21日一、实验目的（1）掌握四种求解线性方程组的直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky分解法.（2）掌握求解线性方程组过程中的基本理论思想.（3）能够熟练使用matla软件对线性方程组进行不同方式的求解.（4）能够区分四种求解方法的不同，以及每种方法的特点和优劣.二、实验内容2.1（验证性实验）验证求解线性方程组的直接左除法、

2、LU分解法、QR分解法以及Cholesky分解法.给出相关例题进行验证.例一：用直接左除法求解线性方程组，给出系数矩阵A和b分别为：，例二:用LU分解法求解下面线性方程组，要求写出分解出的矩阵L和U.例三：用QR分解法求解线性方程组，要求写出分解出的矩阵L和U.例四：用Cholesky分解法求解线性方程组，给出A和b分别为：，2.2借用实例来区分四种方法的不同例：用直接左除法、LU分解法、QR分解法求解下面的线性方程组三、实验环境该实验应用matlab2014来进行实验的验证和设计.四、实验步骤和结果4.1验证直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky分

3、解法的调用格式（1）直接左除法例一：用直接左除法求解线性方程组，给出系数矩阵A和b分别为：，给出matlab程序：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13;-9;6;0];x=Ab得到线性方程组的解：x=-66.555625.6667-18.777826.5556所以，通过左除法得到的线性方程组的解为：（2）LU分解法例二:用LU分解法求解下面线性方程组，要求写出分解出的矩阵L和U.给出matlab程序：A=[10,-7,0,1;-3,2,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2];b=[8;6;5;1];[L

4、,U]=lu(A)x=U(Lb)得到方程组的解为：L=1.0000000-0.3000-0.04001.000000.50001.0000000.20000.9600-0.77421.0000U=10.0000-7.000001.000002.50005.0000-1.5000006.20002.24000004.9742x=0-111所以，通过左除法得到的线性方程组的解为：（3）QR分解法例三：用QR分解法求解线性方程组，要求写出分解出的矩阵L和U.求解：由方程组可以得到系数矩阵和初始向量分别为：，给出matlab程序：A=[1,-1,1;5,-4,3;2,7

5、,10];b=[4,7,5]';[Q,R]=qr(A)x=R(Qb)得到结果：Q=-0.1826-0.0956-0.9785-0.9129-0.35320.2048-0.36510.9307-0.0228R=-5.47721.2780-6.572708.02298.151700-0.5917x=-4.6154-4.23084.3846所以，通过左除法得到的线性方程组的解为：（4）Cholesky分解法例四：用Cholesky分解法求解线性方程组，给出A和b分别为：，给出matlab程序：A=[2,1,1;1,2,-1;1,-1,3];b=[6;3;4];R=ch

6、ol(A)x=R(R'b)得到结果:R=1.41420.70710.707101.2247-1.2247001.0000x=2.00001.00001.0000所以，通过左除法得到的线性方程组的解为：4.2借用实例来区分四种方法的不同例1：用直接左除法、LU分解法、QR分解法求解下面的线性方程组已知，该线性方程组的系数矩阵和初始向量分别是：，借用matlab求解该线性方程组，使用直接左除法、LU分解法、QR分解法来同时得到相对应的三种方法的结果。给出matlab的程序：formatlongA=[2,1,5,7;-1,3,-5,6;1,-1,3,9;-4,6,-1

7、,5];b=[16;7;19;41];x1=Ab%左除法得到的解%[L,U]=lu(A);x2=U(Lb)%LU分解法得到的结果%[Q,R]=qr(A);x3=R(Qb)%QR分解法得到的结果%得到如下结果：x1=-7132x2=-7132x3=-6.9999999999999981.0000000000000012.9999999999999991.999999999999999从结果中我们可以看到，用三种方法求出来的结果存在差异，但是差异及其小，直接左除法得到的结果和LU分解法得到的结果相同，但是QR分解法的到的结果却和前两者不一样，这说明，在求解