谐波分析analysis2

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1、A.3谐谐谐波波波分分分析析析谐波分析又称调和分析(harmonicanalysis)，指用三角函数来拟合数字信号或数字序列。根据拟合函数可以对不同的信号周期，位相及振幅的情况进行了解。简简简单单单谐谐谐波波波估估估计计计气候变量时间序列中包含多种时间尺度的变化，因此经常需要考虑如何反映不同时间尺度的变化。例如每天的观测气温多年积累下来，就会有一个连续的日平均气温序列，如果资料从1991年到2000年10就会有3652天。这个时间序列中包含了多种尺度的变化，其中最突出的是年循环，即365日或者是12个月的周期。夏

2、季气温高，冬季气温低，从冬季到夏季再到冬季，是一个循环，每年的季节循环是非常规律的，可以近似用正弦或余弦函数来表示即yt=cos(®)t是时间，正弦函数和余弦函数只是位相上相差90±，有cos(®)=sin(®+¼)，二2者本质上是等价的。不过因为当®=0时余弦函数等于1，对于®6=0的情况可以看成是有位相差，便于解释。因此，实际计算中多用余弦函数。图A.5是北京1951¡2002年平均每月气温，如果要用余弦函数来拟合温度的变化，要考虑的问题包括：²将时间1到12月处理成弧度的变化，因为一个季节循环可以看出是一个

3、完整的周期即2¼，那么每一个月相对应的弧度应该是2¼t=2¼t，t=1:::12；n12²余弦函数平均值为0，最大值为+1，最小值为-1。所以必须对月平均温度进行处理，将其平均值提取出来使得其变化正负对称，得到平均值是12.04±C。余弦函数前还要乘上一个系数以保持其变化幅度与真实情况相符，7月气温最高比年平均气温高出14.11±C，1气温最低，比年平均值低16.065±C。取二者绝对值的平均得到振幅为C=14:11+16:065=15:0882²最后还要考虑到月平均气温最大值出现在7月份，所以要加上一个位相差，

4、即Á=2¼£7=2¼£7=7¼。n12614302520C)15°T(1050−524681012Month图A.5:北京月平均气温的谐波分析。圆点表示1951¡2002年平均月平均气温，虚线为根据谐波分析得到的余弦函数计算的温度，即y=12:04+15:088£cos(2¼t¡t127¼)6这样就可以将气温的年循环表示为2¼tyt=y+Ccos(¡Á)(A.20)n即2¼t7¼yt=12:04+15:088£cos(¡)(A.21)126上面的例子是直观的判断和计算，实际计算中对位相和振幅有客观准确的计算方法。

5、根据A.20式，有2¼tyt=y+Ccos(¡Á)(A.22)n2¼t2¼t=y+Acos()+Bsin()(A.23)nnp其中A=Ccos(Á)，B=Csin(Á)，显然C=A2+B2。根据最小二乘法可以得到：15表A.4:北京气温年循环的谐波分析tycos(2¼t)sin(2¼t)ycos(2¼t)ysin(2¼t)t1212t12t121-4.020.8660.500-3.486-2.0122-1.220.5000.866-0.612-1.05935.450.0001.0000.0005.450413.8

6、1-0.5000.866-6.90311.956520.14-0.8660.500-17.44410.071624.34-1.0000.000-24.3380.000726.15-0.866-0.500-22.647-13.075824.83-0.500-0.866-12.413-21.501919.84-0.000-1.000-0.000-19.8441012.840.500-0.8666.418-11.117114.370.866-0.5003.784-2.18512-2.041.000-0.000-2.03

7、80.000Pn144.4800-79.679-43.3158i=12Xn2¼tA=ytcos()(A.24)nni=12Xn2¼tB=ytsin()(A.25)nni=1得到A和B以后就可以由下式计算位相:8arctan(B);A>0>:A¼;A=0216利用这些公式可以计算北京气温季节循环谐波参数。根据表A.4中数据，可以得到144:48±y==12:04C122Xn2¼t2A=ytcos()=£(¡79:678)=¡13:2798nn12i=12Xn2¼t2B=yts

8、in()=£(¡43:3158)=¡7:2193nn12i=1pp22可见振幅C=B+A=228:4714=15:1153；再根据位相公式计算得到位相Á=arctan(B)§¼=0:5436§¼；即Á=3:6395或者Á=¡2:6437；这样得到北A京气温年循环的准确谐波函数是2¼tyt=12:04+15:1153£cos(¡3:6395)122¼t或者=12:04+15