功率谱估计和信号频率估计方法 [兼容模式]

《功率谱估计和信号频率估计方法 [兼容模式]》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第3章功率谱估计和信号频率估计方法UESTC何子述1•本章要回答的问题是，怎样利用随机过程un()的N个观测数据uuNN(0,)(1,,)uN(N-1)估计出随机过程的功率谱S()w？•经典功率谱估计•参数模型法估计•基于相关矩阵特征分解的信号频率估计UESTC何子述23.1经典功率谱估计方法•经典功率谱估计是基于传统傅里叶变换的思想，其中的典型代表有Blackman和Tukey提出的自相关谱估计（简称为BT法），和周期图法。3.1.1BT法1.自相关函数的估计与傅里叶变换设un()为un()的

2、N个观测值，则un()的自相关函数N估计值N-11*rmˆ()=-åununmNN()(),mN£-1(1)Nn=0根据维纳-辛钦（Wiener-Khintchine）定理，对上式UESTC何子述3求傅里叶变换，即MSrˆ()w=£åˆ()me-jmw,MN-1(2)BTmM=-以此结果作为对真实功率谱S(w)的估计，因为式(2)是通过自相关函数间接得到的，称为间接法。如果m和N都比较大，rmˆ()的运算量就很大。这时可以采用FFT对rmˆ()进行计算。对式（1）求傅里叶变换，并整理得UESTC何

3、子述4N-1ˆ-jmw12årme()=UN()wmN=-()-1N2其中，U(w)是unN()的能量谱，除以N后即为功率N谱。这说明，由式(1)估计出的rmˆ()和unN()的功率谱是一对傅立叶变换。算法3.1（用FFT计算自相关函数的方法）步骤1对unN()补N个零，得un2N()，对un2N()做快速傅立叶变换（FFT）得Uk2N()kN=-0,1,,21UESTC何子述512Uk()步骤2求Uk2N()的幅度平方，然后除以N，得2NN12步骤3对Uk2N()进行IFFT，得rmˆ0()m

4、N=-0,1,,21Nrmˆ()与rmˆ()的关系为0ìïrmˆ()01££-mNï0rmˆ()=íïïîrmNˆ0()+-21N+£m£-12自相关函数的估计性能(1)均值rmˆ()的均值为UESTC何子述6Nm-

5、

6、E{}rmˆ()=rm()(3)N从式（3）可以看出，对于固定的延时m，limE(){rmˆ}=rm()。即rmˆ()是对N¥rm()的渐近无偏估计；对于固定的N，当m越接近于N时，估计的偏差越大；由式(3)可知，rmˆ()的均值是真值rm()和三角窗函数ìï1

7、

8、,-£

9、mN

10、

11、mN-1()Tïwm()=í21N-ïïî0,其它UESTC何子述7()T的乘积，wm21N-()的长度为21N-。(2)方差rmˆ()的方差为2var{rmˆˆˆ()}=-E{rm()E{}rm()}22=-E{rmˆˆ()}E{}rm()假定信号un()是零均值的实高斯随机信号，得Nm--1

12、

13、é+ùvar{}rmˆ()=-+1

14、åêú1ml

15、

16、

17、érlrlmrlm2()(+)(-)ùêëúûNNëêúûlNm=-(1

18、

19、--)UESTC何子述8由于rm()是有限的，显然当N¥时，r

20、mˆ()的方差将趋近于零。所以，对于固定的延时m，rmˆ()是rm()的渐近一致估计。另外，还有一种常用的rm()的估计rmˆ()N-11*rmˆ()=-åununmNN()(),1mN£-Nm-n=0其均值为E{}rmˆ()=rm()UESTC何子述9若信号un()是零均值的实高斯随机信号，则rmˆ()的方差为1Nm--1

21、

22、élùvar{}rmˆ()=-åêú1érl2()+rlmrlm(+)(-)ùêúêëúûNm--lNm=-(1

23、

24、--)êëNmúû由以上两式得，rmˆ()为无偏估计，当

25、m接近于N时，估计rmˆ()的方差很大，但当Nm时，rmˆ()是rm()的渐近一致估计。UESTC何子述103.1.2周期图法周期图（Periodogram）法又称直接法。以SˆPER()w表示周期图法估计出的功率谱，则12SUˆ()ww=()(4)PERNNN-1-jnw其中，UuNN()w=å()nen=0因为这种功率谱估计方法是直接通过观察数据的UESTC何子述11傅里叶变换求得的，所以人们习惯上称之为直接法。当MN=-1时，周期图法和BT法是相同的，即N-1ˆ-jmw12årme()=U

26、N()wmN=-()-1N而当MN-1时，这相当于对长度为21N-的rmˆ()做截断处理，也即施加了一个矩形窗，即(R)rmwˆˆ()=(mrm)()MM21+UESTC所以，何子述BT法实际上是对周期图法的平滑。123.1.3经典功率谱估计性能讨论1MN=-1时的估计性能在这种情况下，周期图法和BT法的性能是一致的。⑴均值BT法的均值为E{}SSˆ()www=*1()W()T()BT2N-12p由上式可知，功率谱估计的均值可以表示为信号的UESTC何子述13(T)真实功率谱S(