∑(X)上权移位算子的一致分布混沌和准测度

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1、第38卷第1期应用数学学报Vo1．38No．12015年1月ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICAJan．，2015∑()上权移位算子的一二致分布混沌和准测度卢天秀(四川理工学院理学院，自贡643000)(E-maihlubeeltx@163．corn)朱培勇吴新星(电子科技大学数学科学学院，成都611731)摘要设X为赋范线I生空间(不一定完备)，∑()=．本文证明：对于任意0

2、s一混沌的，并且其准测度等于1．同时，陛质在迭代运算下是保持的．关键词权移位算子；一致分布混沌；准测度MR(2000)主题分类54H20；37D45中图分类O415．5广而言之，混沌是指系统在沿着时间维度演化的过程中所表现出来的、其微观个体的状态相对于人们的预测能力而言的不确定性，它是系统演变复杂性的重要表现．数学上的混沌概念首见于Li和Y(rke[111他们用点对的邻近和非渐近行为来刻画系统演化的复杂性，即大家熟知的Li～Yorke混沌．30多年来，数学领域中的混沌受到广泛的关注和深入的研究．基于对Li—Yor

3、ke混沌的探讨和对于系统复杂性的不同认识，学者们先后定义了Devaney混沌[2]1Wiggins混沌[3]'本质混沌[4】j稠混沌，稠一混沌[5】．混沌分布混沌[7】．序列分布混沌Is]和Li—Yorke敏感f。】等多种类型的混沌．Li-Yorke混沌的一个重要推广是Schweizer和smftal[]于1994年提出的分布混沌．本文2013年1月5日收到．四川理工学院科研基金项目(No．2014RC02)，人工智能四川省重点实验室开放基金项目(2012RYY04)资助2应用数学学报38卷【7】和[10]不仅从

4、轨道逼近时间集密度的角度进一步揭示了隐藏于Li—Yorke混沌之中的丰富多彩的复杂性，还证明了将映射限制在紧区间f】或者双曲符号空间【1o]时，分布混沌等价于正拓扑熵．现在，我们先给出Li—Yorke混沌和分布混沌的定义，其它混沌定义参见相关文献，此处不再赘述．定义1I1,9】系统(，．厂)称为是Li—Yorke—g-一混沌的，如果对E>0，存在不可数子集FcX，使得任意X，Y∈F(X≠)，liminfd(f()，fn())：0，limsupd(f()，fn())￡⋯—no。n。。称(X，．厂)是Li—Yorke

5、混沌的，如果存在不可数子集FcX，使得任意X，Y∈Fx≠)liminfd(f()，fn())=0，limsupd(f()，fn())>0n一。—。n。o对于任意t>0，令n％(t)一imsup-IEX【o_t)(d(，()，，(洲n_。。¨J=一n(￡)=liminfI∑)(d(，()，，j(。。，=1其中X[o，t)表示集合[0，t)的特征函数，即当s∈【0，￡)时)()(s)=1，当s[0，t)时X[o，t)(s)=0．和分别称为点对(，Y)的上、下分布函数．定义2[]系统(，_厂)称为是分布一混沌的，如果存

6、在不可数子集FCX，使得对任意z，Y∈F(≠Y)和任意t>0，有()：1，并且存在>0，有(E)=0．如果存在￡>0，使得．厂是分布一混沌的，则称其为一致分布混沌或者强分布混沌的．为了更加深入和准确地研究系统(，．厂)的分布混沌性，Smltal等【11_于2001年引入了如下测度：1，+。。脚(，)=／o(％()一())d‘称(，)为系统(，，)的(分布)准测度．由[11，12]，我们知道；准测度的非负性相对于正拓扑熵能够更好地保证系统的混沌性，但系统准测度的计算是个很艰巨和困难的工作．2011年，我们在[13】

7、中证明了量子谐振子中的一个湮没算符a=(X+)能够达到最大意义上的分布混沌并且其准测度等于1，从而成功的回答了Oprocha在f121中提出的问题．设(，【1．11)为复数域C上的赋范线性空间(不一定完备)并且∑()：XN。={(xo，Xl，X2，⋯)：Xk∈X，V∈N，0)同时对于∑()，我们赋予如下乘积拓扑度量：V=(X0，Xl，X2，⋯)，Y=(Yo，Yl，Y2，⋯)∈1期卢天秀，朱培勇，吴新星：∑(x)上权移位算子的一致分布混沌和准测度3∑()，⋯)、击1一玑ll·=0。一”显然，在该度量下，∑()的直径

8、diamE(X)=2．定义r(X)上的加法“+”和数乘“-”运算如下：(X+)=Xi+Yi，(·)t=t，X，Y∈∑()，OL∈C这样，我们不难验证：(∑()，d)为一个Fr6chet空间．对于任意一组权值w：{wk：k0)Cc＼{0)，定义由w诱导的权移位映射Bx(x)一x(x)如下：Bw(xo，Xl，X2，⋯)=(W0Xl，WlX2，W2X3，⋯)易知：(∑()，)为