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1、最精确信度理论(Greatestaccuracycredibilitytheory)孟生旺中国人民大学统计学院1一、引言也称作最小二乘信度理论：LeastSquaresCredibility。n信度因子的基本公式：Z=nva+/其中：n为个体风险的规模（风险单位数）v表示个体风险自身的变异性（过程方差的均值）a表示个体风险之间的变异性（假设均值的方差）2关于信度因子的一些直观解释：个体风险之间的变异性？（组间差异）：个体风险之间的变异性越大，个体风险的经验数据的可信度越高。个体风险自身的变异性？（组内差异）：个体风险自身的变异性越大，其经验数据的可信度越低。如何度量变异性的大小？看上述
2、两个变异性之间的相对水平如何。不是绝对变异性。3假设：保单持有人在过去n年的索赔经验：XXXX=(,",)12n手册费率：μ索赔经验表明，手册费率不适用（X完全不同于μ）。问题：如何厘定保单持有人下年的纯保费？Buhlman模型Buhlman-Straub模型4二、贝叶斯保费假设：个体风险的风险水平用风险参数θ表示。不同个体风险的θ是不同的；假设θ服从密度函数π(θ)；尽管个体风险的θ值是未知的，但假设π(θ)是已知的；在给定θ的条件下，损失经验XX1,...,n之间相互独立。保单在第n+1年的损失记为Xn+1。5问题：第n+1年的保费应为多少？即对于给定的风险θ，如何求得Xn+1的条
3、件分布？出路：因为已知保单在过去n年的损失经验，因此可以求Xn+1的条件分布：fx(
4、x)Xnn+1
5、x+1注：此分布被称作预测分布（predictivedistribution）6贝叶斯保费：预测分布的均值EX(
6、X==x)xf(x
7、x)dxnn++11∫Xn+1
8、xn+1n+1定理：贝叶斯保费可以表示为假设均值的条件期望：E(Xdnn++11
9、X==x)∫μ()θπθΘ
10、x(
11、x)θ证明（略）7三、信度保费基本问题：估计给定个体风险在下年的纯保费μ()θ。n+1xx,,…现有信息：过去n年的损失观察值为1n一种建议（Buhlmann,1967）：用观察数据的一个线性函n()数α+Σ
12、αx估计假设均值μn+1θ01ii=i目标函数：参数α01,,,αα"n应使均方误差达到最小：2nQE=Θ{⎣⎦⎡⎤μααnj+=10()(−+Σ1jXj)}(,XX",,)XΘ注：上述期望值基于12n的联合密度函数，即均方误差是关于所有可能的Θ值和观察值求平均。8参数估计为最小化Q，对α0求偏导：∂Qn=ΘEX{2(⎡⎤⎣⎦μααnj+=10)−−Σ−1ii(1)}∂α0令上式等于0并化简得：EE()n()X[μαni+=10Θ=+Σ]1αii9由于集体保费为EX()[=EEX(
13、)Θ=][(EμΘ)]nnn+++111所以nE()XE=+ααΣ()Xni+=101ii此式被称作无偏
14、方程（unbiasednessequation），因为它要求n是集体保费的无偏估计量。αα+ΣXEX()n+101iii=上式提供了求解α0,,…αn的一个方程。10注意：n估计量αα01+Σiii=X可能是μnn++11()θθ=EX(
15、)的有偏估计量。这种偏差在不同个体风险之间可以相互抵消。接受这种偏差，可以在整体上降低均方误差。11对in=1,2,",，令∂Qn=ΘEX{2(⎡⎤⎣⎦μααnj+=10)−−Σ−1jj()0Xi}=∂αi化简得nE[()]μααni+=101Θ=XEX()i+ΣjjEXX()ij上式左边可以表示为（证明件下页）EXX()in+112EX[()]μμ
16、ni++11Θ=E{E[Xin()Θ
17、Θ]}=ΘΘEE[]μ()(X
18、)ni+1=EEX[](
19、)(ΘΘEX
20、)ni+1=ΘEEXX[](
21、)ni+1=EXX()in+113n因此EXX()(in+10=+ααEXi)∑jEXX()ij（1）j=1在EX()nEX()两端同时乘以E()X得=+ααΣini+=101iinEXEX()()in+10=+ααEX()i∑jijEXEX()()（2）j=1用减EXX()去EXEX()()in+1in+1nCov(XXin,+1)==∑αjCov(XXiij,),1,2,,"nj=114得到正则方程组（normalequations）:nE
22、()XE=+ααΣ()Xni+=101iinCov(XXin,+1)==∑αjCov(XXiij,),1,2,",nj=1由此正则方程组可解出α,,,αα"，进而求得信度保费01n为nαα0+∑jXjj=115四、Buhlmann信度模型：最早、最简单假设：在给定Θ=θ的条件下，XX1,,"n是独立同分布的随机变量，具有相同的均值和方差：μ()θθ=ΘEX(
23、=)假设均值(hypotheticalmean)jvX()var(
24、θ=Θj=θ)过程
