部分数学建模习题解答[1]

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1、第一章第5题一个男孩和一个女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校里上学，每天同时放学后分别以2km/h和1km/h的速度步行回家。一只小狗以6km/h的速度由男孩奔向女孩，又从女孩处跑向跑回男孩处，如此往返的奔跑，直至回到家中。问小狗总共奔波了多少路程？解：由于男孩、女孩与小狗跑的时间一样，所以把时间设为t，则有2t+1t=3，得到t=1h。所以小狗跑了6km/h*1h=6km。第一章10题一位探险家必须穿过一片宽度为800km的沙漠，他仅有的交通工具是一辆每升汽油可行驶10km的吉普车．吉普车的油箱可装10升汽油。另外吉普车上可携带8个可装5升汽油的油桶，也就

2、是说，吉普车最多可带50升汽油(最多能在沙漠中连续行驶500km)。现假定在探险家出发地的汽油是无限充足的．问这位保险家应怎样设计他的旅行才能通过此沙漠？他要通过沙漠所需的汽油最少是多少升？为了穿越这片800km宽的沙漠，他总共需要行驶多少公里路程。总共要花费多少升的汽油?思路：1、若沙漠只有500公里或者更短，这时很简单，一次搞定。 2、若沙漠有550km，怎么办？需要保证的是：车到了离沙漠终点还有500km的地方，能恰恰加满油且不会有多余。方案可为：600-550＝50，从起点处加5*3(升)＝15升油，开出50km，设一加油站，存下5升，剩下5升刚好使得汽车返回起点

3、。再在起点处加满50升油，到加油站时，只乘45升了，把存放在那儿的5升油加上。则可跑出沙漠。（这样共加油15＋50＝65，总路程为150+500＝650km） 3、再看2的情况，符合这种情况的沙漠的最大距离是多少呢：答案是500*（1+1/3）公里。即在起点准备100升油，第一次装50升，跑了500/3公里后存放50*1/3升油，然后返回起点，这时车里的油也正好用完，然后再在起点处装50升，跑了550/3公里后，车内剩下（50*2/3）升油，再加上存放的50*1/3升油，恰好为50升油，则可跑出沙漠。  4。当沙漠的距离超过了500*（1+1/3）km（但又超过得不多）又

4、当如何？这时我们可以把前面的500*（1+1/3）km看成一段整体，需要保证的是：在距离沙漠终点500*（1+1/3）km处恰恰有100升油（由3的分析可知）。怎么来保证呢，我们假设沙漠的距离只比500*（1+1/3）多了1公里，因为汽车的容量是50升，所以100升油最少从起点运3次油才能满足。除了3次装油，还有两次折回，所以往返正好有5次，这5次能保证的距离是500/5，所以这时我们又把沙漠的距离延伸到了：500*（1+1/3+1/5），起点应该储备150升油。 5。当沙漠的距离超过了500*（1+1/3+1/5）km，要保证在距离沙漠终点500*（1+1/3+1/5）

5、km的地方有150升油。综上所述：总有某一个值k,使得fdis=500*（1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)）<800，但500*(1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)+1/(2k+1)）>800，应该在起点准备多少油呢？这时多了一小段出来，按情形2的分析，在起点准备的油应当是：（(800-fdis)/油耗）*往返次数 +k*50。经计算：fdis=766.66,k=3,故应准备的油应为：（(800–766.66)/10）*7 +3*50＝173.338。第一章11题如果你有一个3L的桶和5L的桶，问如何才能准确地称出4L的水？如果你要的不是4L而是别的数量，你

6、又该怎么办？解：准确称出4L水的方法：先把3L的桶装满水，倒入5L的桶中，再把3L的桶装满，又倒入5L的桶中直到倒满，此时3L的桶中还剩下1L；再将5L桶中的水倒掉，将3L桶中剩下的1L倒入5L桶中，再用3L桶装满水倒入5L桶中即可得到4L水。设y（）表示要的任意L的水，a表示得到yL水所要用到3L桶的次数，b表示得到yL水所要用到5L桶的次数。则可以得到如下模型：，a，b为整数。例如1、y=1L时，a=2，b=-1，表示3L的桶用了两次装满，5L的桶用3L桶中的水装满一次并且倒掉。2、y=2L时，a=-1，b=1。3、y=3L时，a=1，b=0。4、y=4L时，a=3，

7、b=-1，表示3L的桶用了三次装满，5L的桶用3L桶中的水装满一次并且倒掉。5、y=5L时，a=0，b=1。6、y=6L时，a=2，b=0。（注，此时5L的桶有用来中间存贮）7、y=7L时，a=-1，b=2。8、y=8L时，a=1，b=1。第一章第13题第二章1题第i个前初的兔子对数为，，，，，，，，（对）（理解：第i个月的兔子=第i-1个月的兔子+第i-2个月的兔子，）第二章2题这相当于一根棒的两端甲A，乙B，设初始位置甲A(0,0),棒长为R,乙的初始坐标为（D,0）,顺时针运动，设甲的切向速度为v1,乙的径向速度为v2,