孪生素数猜想

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1、万方数据2014年第53卷第1期数学通报1孪生素数猜想刘建亚(山东大学250100)数论又名高等算术，是研究整数性质的学问．然而数论并不简单．高斯说：“数学是科学的女王，而数论是数学的王冠．”1素数与孪生素数猜想’数学建立在数系的基础上；整数是非常基本的，然而有一类比整数更基本的数，即是素数．设P是一个大于1的整数，若P只有1与P两个因子，则称P为素数．也就是说，素数不能分解为两个都小于它的因子之积．素数的序列是：2，3，5，7，11，13，17，⋯．素数之所以重要，是因为任何大于1的整数都可以分解为素数的乘积，而且这个乘积具有唯一性．这个结论被称为算术基本

2、定理．因此，素数表之于数学，正如《化学元素周期表》之于化学．素数如此重要，但是素数的分布似乎没什么规律．如果查看数轴，很难预测哪个大整数是素数．实际上，似乎不可能发现素数出现的任何具体规律，也就是说，我们还没有办法写一个通项公式，使其每项都产生素数．古希腊人已经知道，素数有无穷多，其证明发表于欧几里得的《几何原本》．任意取一个大整数k，一定可以在数轴上找到长度为k的区间，在此区间内没有素数．也就是说，相邻素数之差可能大于任何事先给定的正数．另一方面，除了2之外，其他的素数都是奇数，它们之间的最小可能的间隔是2．若一对素数之差是2，则称它们为一对孪生素数；比如

3、3与5，5与7，11与13，等等．孪生素数初看起来貌似很多，但是不难发现它们越来越稀疏，且没有规律．一个自然而古老的猜测断言，存在无穷多对孪生素数．这就是所谓的孪生素数猜想．2高斯猜想与黎曼猜想我们可以在数轴上取一个很大的X，这个X可以趋向于无穷大，然后研究X前面有多少个素数，即不超过X的素数的个数．记不超过X的素数的个数为兀(z)，我们关心兀(z)和z之间的关系．从欧几里得知道，当z趋于无穷大时，丌(z)也趋于无穷大．1792年，高斯进一步猜测，7c(z)大约是x／logz，而且z越大这个近似越精确，这里的log是自然对数．高斯猜想给出了，当z增大的时候，

4、不超过X的素数个数的增加速度．这个猜想指出，素数在不超过z的整数集合中密度是1／logz；因此当z趋于无穷大时，这个密度趋于零．为了证明高斯的这个猜想，黎曼提出并发展了zeta函数理论．他在1859年作了一个演讲，题为《论不超过一个给定值的素数的个数》．在演讲中，他定义了zeta函数，证明了这个函数有无穷多个非显然零点．根据代数基本定理，一个多项式零点的个数等于其次数；而zeta函数有无穷多个零点，因此肯定是一个超越函数．黎曼证明，这无穷多个非显然零点都落在实部介于0与1之间的竖直带形之内，而且关于带形的竖直中轴线对称．但黎曼不能排除零点落在带形边界上的可能

5、性．到此，人们不禁会问，研究丌(z)貌似一件数手指头的事情，但黎曼没数手指头，而是定义了一个zeta函数，还证明了它有无穷多个零点，黎曼这是在研究高斯猜想吗?事实上，黎曼还证明了，如果带形的边界上没有zeta函数的零点，高斯猜想就正确!这是非常令人震惊的．实际上，可以认为这是数学史上关于数学内在联系的最深刻的结果之一．黎曼自己没来得及给出证明就去世了，但他提供了研究高斯猜想的正确方法，即用分析方法去研究数论——这就是解析数论．沿着黎曼指明的方向，在高斯猜想提出一百余年之后，阿达玛(J．Hadamard)与德·拉·瓦雷普桑(C．delaValleePoussi

6、n)分别给出了高斯万方数据2数学通报2014年第53卷第1期猜想证明．自此，高斯猜想被称为素数定理．在那个著名的演讲中，黎曼还提出了一个猜想：zeta函数所有非显然零点只能落在带形的竖直中轴线上．这个猜想的提出，既有美学的原因，也有科学依据．首先，黎曼肯定相信高斯猜想是正确的．要想证明高斯猜想正确，带形边界上就不应该有零点．既然零点越靠边界其作用就越坏，那么，肯定零点越靠近中轴线越好．而且黎曼知道零点是关于中轴线对称的，若所有零点都落在中轴线上，当然自己和自己对称，世界将何其完美!然而，任何一个猜想，不管在美学上是多么完美，如果没有一定的事实来支持，也是不可

7、信的．黎曼手算了三个零点，结果都落在中轴线上．黎曼猜想等价于素数定理具有最佳可能的余项．黎曼猜想到现在还没有得到证明．到现在为止，利用计算机演算出来的非显然零点，都落在中轴线上．这肯定让迷信计算机的人非常沮丧．2000年，美国克雷数学研究所公布了7个千禧数学问题，黎曼猜想名列其中．早在1900年，希尔伯特(D．Hilbert)列出23个数学问题，其中第8问题中便有黎曼猜想，还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想．3与哥德巴赫猜想平行的孪生素数猜想上个世纪六十、七十年代，哥德巴赫猜想的研究如火如荼，中国数学家王元、潘承洞、陈景润先后做出了举世瞩目的贡献．此段历史，随

8、徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》而家喻户晓，在此不必再