黄金分割——神圣的分割

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1、7889年9月湖南第一师范学报:)’"7889第9卷第!期$%&’()*#%+#,-’./#01)231’.#4%**151#%+#6&()(;%*"9##<%"!黄金分割——神圣的分割司志本（河北承德民族师专，河北承德8=>888）摘要：“黄金分割”是一种十分奇妙的分割，具有很强的艺术性。了解它的有关概念、性质以及应用等，不论是对于我们研究数学问题，还是进行艺术设计，乃至研究其他领域的问题，都是十分有益的。关键词：黄金分割；黄金数；黄金多边形中图分类号：?!7#####文献标识码：@#####文章编号：!=>!AB9=C（7889）8!D88=8D8B黄金分割在艺术、建筑

2、、工农业生产以及科学实验中，一、黄金分割简介都有着广泛的应用。例如，古希腊著名的雅典女神庙、法国关于黄金分割的概念，有许多种叙述方法，但基本意思的巴黎铁塔等世界著名建筑，都应用了黄金分割的原理。我是相同的。我们可以采用下面比较通俗的叙述方法：国著名数学家华罗庚推广的优选法，也应用了“+,-’.”这个定义：把一条线段!"分成两段!#、#"，使较长的一段“黄金数”。!#是全长!"与较短一段#"的比例中项，我们把这种分黄金分割的美，无处不有，无处不在。黄金分割是天然割叫做黄金分割，分点#叫做黄金分割点。合理的，威尼斯数学家巴巧利（012343’556—’6’6）称黄金根据定义，线

3、段!"、#"有下列关系：比是“神圣比例”，德国著名天文学家开普勒（’6/’—!#$%!"&#"。’-7+）把黄金分割称为“神圣分割”。如图’，令!"%’，!#%(，则#"%’)(，从而有二、黄金数（点）的多种来源($%’&（’)(）。即($*()’%+。根据黄金分割的定义可知，黄金数的初始来源是线段解此方程，并舍去负根，得的比例中项。但是，在许多问题的求解中，我们都可以得出。黄金数（或黄金点）。!"#几何方面例’正五边形的对角线的五个交点，是这五条对角线的黄金分割点。我们把+,-’.称为黄金数，或称为黄金率，也称黄金比、中外比、内外比。“黄金分割”最早是两千多年前由古希腊数

4、学家毕达哥拉斯学派在研究正五边形的作图法及其性质时发现的，古希腊数学家欧道克斯最先给出了它的表达式，而“黄金分割”这一名称是意大利艺术家列奥尔多·达·芬奇给出的。公元’-+/年，徐光启与利马窦合译《几何原本》，将这一方法图7传入中国。收稿日期：7887—!!—8>作者简介：司志本（!CEC—），男，河北兴隆人，河北承德民族师专副教授。-+证明：如图!，设正五边形"#$%&的边长为’，五条对这就是说，此时椭圆的短轴长与长轴长之比恰好是黄角线的长均为(，易知，!#)&"!$)%。不难证明，#$*金数。满足这一条件的椭圆，我们通常称为“黄金椭圆”。#)*&)*’，$)*(+’。例

5、5如图5，曲线6*—.8782-9与直线6*8+.的交点#)&)#&的横坐标是黄金数。因为——*——*——，$)%)$%所以。即’!,(’+(!*-（可以把此式看作是关于’的一元二次方程）。解得一个正根为。这就是说，点)同时是线段&$、#%的黄金分割点。同理可证，另外的四个交点也都是对角线的黄金分割点。例!正五边形的边长与对角线的比是黄金数。事实上，求曲线6*—.8782-9与直线6*8+.的交点坐证明：如图!，由例.的结论可知，点)是对角线#%的黄金分割点，又因为#$*#)，所以#$与#%的比是黄金数。标，就是求方程组例/如果椭圆的两个焦点与某圆的一条直径的两个端点重合，

6、那么，当椭圆的面积与圆的面积相等时，椭圆的的解，把（.）式代入（!）式整理得短轴长与长轴长的比是黄金数。8!,8+.*-。此方程的一个正根恰是黄金数。即交点的横坐标是黄金数。例:如图:，以正方形"#$%的#$边的中点;为圆心，;%长为半径作圆，交#$边的延长线于&点，则点$是线段#&的黄金分割点。证明：如图/，设椭圆的长半轴和短半轴的长分别为0、1（0212-），半焦距为3，则圆的面积为4*!3!，圆椭圆的面积为4椭圆*!01。根据题意有!3!*!01，即3!*01。因为在椭圆中3!*0!+1!，证明：设正方形"#$%的边长为!，则有所以，01*0!+1!，即0!+01+1

7、!*-。此式可以看作是以为变量的一元二次方程。解得。即点$是线段#&的黄金分割点。因为0212-，所以，取正根。例<如图<，对于给定线段"#，以"#为一条直角边，"#以——*"$为另一条直角边，作直角三角形#"$。以$!从而有。为圆心，以"$为半径作圆，交#$于点=，以#为圆心，#=为半径作弧，交"#于>点，则>点就是线段"#的黄金分<.割点。事实上，原方程可化为0)102-#3。解这个方程得一个正根，恰是黄金数。例4无穷表达式的值是黄金数。证明：设，则有（053）。两边平方，整理得0)102-#3。显然，这个方程