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1、第卷第期数学学报中文版,,叭年月一一一文章编号文献标识码算子矩阵的逆姚喜妍山西运城学院应用数学系运城陕西师范大学数学与信息科学学院西安摘要设月和尤为复的无限维可分空间本文利用算子的几何结构着重研七。尤,究了空间月上的算子矩阵的逆给出了一些有意义的结果关键词算子矩阵逆正算子主题分类,中图分类此。,坛。葱。,。,坛云乞物叼介。乞夕几葱刀乞乞,刀。葱。。絮,匀。乞’,云几仇乞二如仇月尤,月尤场,,」诅迅预备知识众所周知,很早以前,算子逆问题就引起了算子论专家的重视历史上的学者对有限维空间上算子逆问题非常感兴趣,也就是说,他们对矩阵逆问题研究的较多设从,。表示复的,,人么,‘矩阵并且当。
2、时简写为年和获得以下结果三,〔几么澳任,〔人几,。,对设矩阵和可逆且矩阵丫则可逆当且仅一‘一,当可逆并且一‘一‘一一‘一‘一‘一一‘,对是奇异矩阵的情况证年明了一个类似结果本文将矩阵逆问题推广,,,到无限维空间上首先利用算子的几何结构对算子和证明了与式类似的一个一一一一收稿日期接受日期基金项目国家自然科学基金资助项目山西省重点扶持学科基金项目数学学报中文版卷式,但是,这里的证明与文【中的证明完全不同其次给出算子矩阵可逆的等价刻画月,龙总是指,尤,祝表示从本文中所用空间复的无限维可分空间侧尤到月的有,,祝简写为祝对任尤,祝,,,‘〔月,尤界线性算子全体且召月到拭表示的伴随侧,,,、
3、、对任兄万和‘分别表示算子的值域零空间谱和点谱对劣。,,全,〔,所有祝若。则称算子侧月为正算子设是正算子告表示的正平方根为,了证明本文的结果给出两个引理引理若‘一之七。尤,‘,乞,,为空间月上的有界线性算子则是正算子当且仅当人是正算子并且有下列算子矩阵形式盈易二一王、孟六“人这里是从尤到月的压缩算子任月是正算子,则下引理若侧列陈述成立,二二当且仅当。,任设是的一个孤立点则‘川见川是闭的当且仅当不是试川的聚点式的推广〔,任,,定理设〔到祝和召龙是可逆的,侧尤月则是可逆的当一‘‘一‘,且仅当是可逆的并且,一‘二一‘一一一‘,一一‘一证明定义算子州任侧祝。尤为一一“多由假设〔召祝可逆与
4、、一一一、、才、︸一一“一、多一一一‘‘一‘抓几约一一一一串一蕴得涵出从是可逆的当且仅当是可逆的,〔尤另一方面侧可逆与、了’曰“一一‘士百多一一一到岁巾州是可逆的当且仅当是可逆的,十一一因此是可逆的当且仅当是可逆的下面我们证明式成立期姚喜妍算子矩阵的逆由式和、、声‘、了一一一一、、”一一厂一‘一一一一一,一一则有产了一‘一‘一一‘一︸、、一二厂召性、厂州又,一丁‘一‘州一九人一’一‘一一‘,‘’一一一一‘上十,一一‘上一‘一一十了气丁划气‘一‘一一‘一‘一‘一‘一‘、,由式类似地和十一、、、率曰、产、,了、︺、、了十‘一一有尹、刃、了、声一︷一二州十,一一十一一一一一,比较式,根
5、据逆算子的惟一性和式得一‘二一‘一一‘一‘一‘一‘一‘一。月。月是可逆的,一一‘推论若万偿匀侧。尤和侧则元可逆当且仅当可逆,并且了、一十一‘一一一‘一一‘一一‘一一侧乎功侧”月孕、万一一一一去一一土一一上一‘’二。。,对于正算子矩阵众众里侧祝均有如下定理了、任月,￡,坛,,定理设概侧。局则是可逆的正算子当且仅当人是可逆的正算子,二,并且存在一个压缩算子侧尤,月,使得二李,乳一上山白‘是可逆的因此了毛、,一麦一一’贵一一一上淤抓功矿一一·一‘一誓一一‘一、功淤扩扩证明设‘一允七是,可逆的正算子由引理知道有下列算子矩阵形式,一、、声、入工一王、衣六、白‘由去这里是从,‘,￡,,龙到祝
6、的压缩算子显然可逆当且仅当人可逆由于、、夕、‘才了、、户、砚了、扮扮老么二一一易孑晶矿么入口、户、了飞、︶护么么一一易,孔易一,易数学学报中文版卷一,所以可逆蕴涵是可逆的反过来是显然的注意·‘、了,一‘、声、、一︸了一卫了只苍烈护扩占人‘‘·一‘、一。。,一川扩扩易易因此‘了、毛、一,一·一‘、、了、了、一曰里八了护、一扩、一·一,,一石扩扩一扮一一‘护功护一,一一‘蕊咒扒功抓贵筹黔州观察一‘率一一二一一‘申一‘一一十一一‘,一有·一‘·一一一‘十,一列责护护丸呱·一‘一一护护故、·一‘性了、,一一‘一一工,护护孑矿一·一‘·一一一一一‘扩扩牙牙推论设了、、“。尤,只柔人‘‘二一
7、易入是,正算子则不可逆当且仅当下面结论之一成立和至少有一不可逆,和都可逆且算子矩阵可逆的等价刻画定理设、了、万厂任召月,。龙又,、,·土,‘且佗是闭的则万可逆当且仅当几一见上,下有界一凡助吸仇犷·一上’土、土是从尤。兄万到尤几上的可逆算子这里入表示咒·,上’上上的正交射影吸表示在见上的限制证明设,·。尤佗。又·。及川是闭的则及也是闭的因此万是从月升一凡土。龙。一‘几上万。尤见①兄。兄一。万万到姚喜妍算子矩阵的逆期龙,。万或灭两万万的算子且有算子矩阵形式、产、、产龟才、、场几︸一姚
