资源描述：
《第二十章重积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、SF01（数）Ch20重积分计划课时：12时246Ch20重积分(12时)§1二重积分概念(2时)一.矩形域上的二重积分:从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.定义二重积分.例1用定义计算二重积分.用直线网分割该正方形,在每个正方形上取其右上顶点为介点.解.二.可积条件:D.大和与小和.Th1,.Th2,.Th3在D上连续,在D上可积.Th4设,为上的可积函数.D,(或D).若在D上有界,且在D上连续,则在D上可积.例2[1]P261E1246三．一般域上的二重积分：1．定义：一般域上的二重积分.2．可求面积图形:用特
2、征函数定义.例1(不可求面积图形的例)[1]P262E2四.二重积分的性质:性质1.性质2关于函数可加性.性质3则在D上可积在和可积,且.性质4关于函数单调性.性质5.性质6.性质7中值定理.例2[1]P263E3.Th若区域D的边界是由有限条连续曲线(或)组成,在D上连续,则在D上可积.例3去掉积分中的绝对值.Ex[1]P2641，2，6，7.246§2二重积分的计算(6时)一.含参积分:以实例和引入.定义含参积分和.含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1.含参积分的连续性:Th2
3、0.5若函数在矩形域上连续,则函数在上连续.(证)[1]P265Th20.8若函数在矩形域上连续,函数和在上连续,则函数在上连续.(证)[1]P2702.含参积分的可微性及其应用:Th20.10若函数及其偏导数都在矩形域上连续,则函数在上可导,且.(即积分和求导次序可换).(证)[1]P282Th20.11设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在,值域在上,且可微,则含参积分在上可微,且.(证)[1]P283例1计算积分.[1]P283—284E11.例2设函数在点的某邻域内连续.验证当充分小时,函数246的阶导
4、数存在,且.[1]P284E12.二.化二重积分为累次积分:1.矩形域上的二重积分:用“体积为幂在势上的积分”推导公式.一般结果为[1]P266Th20.6和Th20.7.例2.[1]P268E1.例3(8)2.简单域上的二重积分:简推公式,一般结果为[1]P270Th20.9.例5,.解法一[1]P272解法二为三角形,三个顶点为,.Ex[1]P285—2861，2*，3⑴，5⑴―⑶，10⑴.例6,.[1]P272E3.例7求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积.[1]P273E4.三.二重积分换元:1.换元公式:设变
5、换的Jacobi,则246,其中是在该变换的逆变换下平面上的区域在平面上的象.由条件,这里的逆变换是存在的.一般先引出变换,由此求出变换.而.例8,.[1]P280E9.註当被积函数形如,积分区域为直线型时,可试用线性变换.例9,.解设.则.，.因此,.註若区域是由两组“相似”曲线(即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别)围成的四线型区域,可引进适当的变换使其变成矩形区域.设区域由以下两组曲线围成:246第一组:;第二组:.可试用变换..从中解出.在此变换之下,区域变成平面上的矩形区域.例10求由抛物线和直线所
6、围平面区域的面积.[1]P281E10.2.极坐标与广义极坐标变换:极坐标变换:,.广义极坐标变换:,.例11.[1]P276E5.例12(Viviani问题)求球体被圆柱面所割下立体的体积.[1]P276E6.例13应用二重积分求广义积分.[1]P277E7.例14求橢球体的体积.[1]P279E8.四.积分换序:例15连续.对积分换序..246例15连续.对积分换序..例17计算积分..例18求积分.[1]P285E13.Ex[1]P286—2874⑴⑵，5⑷⑸，7，8，9⑴.§3三重积分简介(3时)一．三重积分的
7、定义：1．长方体上的积分：2．一般可求体积立体上的积分：二．三重积分的计算：1．长方体上的积分：.2.型体上的积分:⑴内一外二:=,其中,为在平面上的投影.就函数为点密度的情况解释该公式.246⑵内二外一:=,其中介于平面和之间,是用平面截所得的截面.内二外一多用于围成的闭合曲面由一个方程给出的情况.例1,:.[1]P293E1.解,例2,:.解.法一(内二外一参阅[1]P294),其中为椭圆域,即椭圆域,其面积为.因此.246同理得,.因此.法二(内一外二)上下对称,为的偶函数,,其中为在平面上方的部分,其在平面上的
8、投影为椭圆.于是.,.因此.同理…….于是.例3设.计算积分,:.246解.三.三重积分换元公式:Th20.13[1]P295.1.柱坐标:[1]P296.例4,:.[1]P297E32.球坐标:[1]P297.例3[1]P299E4.Ex[1]P300—3011⑴—⑶，3⑴，4⑴.§3曲面的面积(1时)设曲面方程为.有连续的一阶
