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《数学分析第二十章课件重积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二十章重积分§1重积分的概念分别讨论下面几种情况.先考虑一个物理问题：求物体的质量，由于物体的几何形状不同，物体为一细棒(直线段):,长度为，则质量为2)设质量分布不均匀,设是直线上端点坐标为的不点的(线)密度.那么细棒的质量为1、均匀细棒在1)若密度分布均匀设2、物体为一块平面薄板(看成平面区域)1)若均匀,则质量,其中分别表示的密度和面积.2)设不均匀,设薄板对应平面区域,它的(面)密度函数为求薄板的质量:把分成任意块可求面积的小块,这些小块的面积仍记为;在上任取一点那么的质量就近似等于即,因而的质量近似为易知,对取极限的分法越细(块数增多,每小块面积变少),近似程度越高
2、.一维(定积分.细棒):二维若用？则不能保证(一个平面图形的值作为小块误差很大)，不论它的面积多小都可能有其上的两点，它的距离很大,从而用一点密度可能如何刻划的分法越来越细?为了保证中的任意两点的距离任意小,引入平面集合的直径称中所有两点间的距离的上确界为的直径.记为,即设,则便描述了的分法越分越细.从而的直径｝设为一几何体，这个上定义了一个函数将此几何形体分为若干可度量的小块它们的度量仍记为此。并令在每一小块中任取一点，做和式如果当时，的极限存在，且不依赖于分法和点的选取。在上可积，并称此极限值为在上的积分记为根据的不同形态，进一步给出上积分具体表达式几名称：则称设为其极限的
3、直径｝几何体是可以度量的，在Rieman积分的定义是一个区间是一块可求面积的平面区域,那么,那么上述积分就是定积分.若1、2、若上的积分就称为二重积分,在直角坐标下即二重积分的几何解释:以为底,以曲面曲顶柱体的体积为顶的称为面积微元记为或是一块可求体积的立体，那么在上的积分称为三重积分,记为或3、若4、若是一条可求长的空间曲线段,那么第一类曲线积分,记为上的积分就称为5、若是一可求面积的曲面,那么上的积分就称为第一类曲面积分,记为1)被积函数2)(线性)3)(可加性)若由组成:,且除边界外不相交,在充要条件是在均可积则二重积分的基本性质且可积的5)6)(积分中值定理)设是有界闭
4、区域（因而是连通的），在上连续，则存在，使得4)(单调性)若与都在可积，且在的每点都有，则定理1.函数在有界闭区域上连续二重积分的性质（补充）则在上可积.定理2.函数在有界闭区域上可积则在上有界.定理3.函数在有界闭区域上有界，且间断点只分布在有限条光滑曲线上，则在上可积.复习1)曲边梯形的面积:2)已知截面面积的立体体积:§2重积分化累次积分1.二重积分化累次积分又从而有若在矩形区域上可积,并且对上的任何含参变量积分存在,则推论1设在上连续,则定理20.1例1.计算,其中解:矩形区域简单区域一般区域下面:简单区域:区域的边界与平行于某一坐标轴至多两点,或有部分边界是平行于坐标
5、轴的.的直线相交用不等式表示:或定理20.2定理20.2(简单区域)两种情形(1)(2)例2.求,其中是围成解:做出的图形(强调)平行于轴的直线去截,则对每一,有故可表示为:,因此对内层定积分做变量代换，则空间区域如图20-9所示,它在面上的投影由所围成(图20-10).用平行于轴的直线去截则对每一个,有.因此可表示为,故体积解:例3.求由围成的区域的体积例4.用两种积分的不同顺序将二重积分化为累次积分,其中由围成.两曲线和的交点为.考虑先对的积分.用平行于轴的直线去截,当时有当时有.这样可分为两部分和其中因此在考虑先对积分.用平行于轴的直线去截,则对每一有,故又可表示为因此解
6、:例5.计算积分这个累次积分是先对积分,再对积分.而根据积分限知,将上述积分表示为二重积分时,为即由曲线的原函数不能用初等函数表示.因此按上述顺序进行累次积分是行不通的.为此考虑改变积分顺序.和围成.作出的图形如图20-12.用平行于直线去截,对每一,有,于是有轴的积分区域总结1、由例4,例5看出,将二重积分化为累次积分时,积分次序对计算是有影响的。2、步骤：1)作出的图形2)(根据被积函数及积分区域)确定积分顺序.即决定对哪一个变量先积分3)确定累次积分的积分限(原则:利用图形,后积分的变量先定限)(1)是长方体2.三重积分化为累次积分(三次积分)可由质量来解释一下：对于固定
7、与长方体截面的质量（小薄片）所有小薄片的质量连续累加（2）设介于平面和之间。对每一个用平行于的平面去截立体的截面，则有一般依赖于，若可表示为（投影到面）则若表示为则3）设在面的投影是简单区域，且平行于轴且通过的内点的直线与的边界相交至多两点见图20-16：则也可以把投影到面或面.得到类似的公式设例6：计算其中由围成解:区域在平面的投影由围成,这时区域的底为,顶为.因此例7.求,其中是椭球体解：显然，对于每一用平行于面的平面去截椭球体，得一椭圆面它的面积为显然由前面的公式有根据二重积分的几何意
