拓扑学第2章拓扑空间连续映射

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1、第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。§2-1 数学分析中对连续性的刻画 由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。设是一个函数，，则在处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列收敛于，则序列收

2、敛于；（2）语言对于，总可以找到，使当时，有（3）邻域语言若是包含的邻域（开集），则存在包含的邻域，使得。解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述；对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。§2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1设是一非空集，的一个子集族称为的一个拓扑，若它满足（1）；（2）中任意多个元素（即的子集）的并仍属于；(3)中有限多个元素的交仍属于。集合和它的一个拓扑一起称为一个拓扑空间，记。中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。下面我们解释三个问

3、题：(1)拓扑公理定义的理由；(2)为什么中的元素称为开集；(3)开集定义的完备性。●先解释拓扑定义的理由:①从语言看：和分别为上的开区间；②从邻域语言看：是邻域，而是的邻域，连续的条件是，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，是的内点，有内点构成的集合为开集。③在数学分析中要定义区间的内点、外点、聚点…等概念，这些概念的定义都要用到球形邻域的概念，并且那里的球形邻域都是开集。●解释为什么(1)、(2)、(3)可以表述为开集：回顾一下度量空间中开机的定义。在度量空间中，开机的定义：“由内点组成的集合”。即，若是开集，则，一定存在的邻域。这也是开集的判定条件。例

4、1上的开区间都是开集。而都不是开集，因为存在边界点或，它们不存在球形邻域含于集合之中。例2任意多个开集的并仍是开集；但是，对于交运算不成立，即任意多个开集的交不一定是开集，如中开集，前面给出的是拓扑的结构性的表述，下面给出代数性质的（逻辑的）表述，最终将其作为拓扑的公理化定义。性质：度量空间中开集具有下述性质（1）与是开集；（2）是开集是开集（或有限多个交）；（3）（任何指标集），若是开集是开集。证明：（1）由于中每一点的邻域必然包含于中(是整个空间，没有以外的元素)，故满足开集条件；其次，中没有任何元素，可以自然认为是开集。ε1A1A2ε2x（2）设是上的开

5、集。若，则必有且(核心说明中的点是内点)。于是，存在的球形邻域及.取，则是的球形邻域，且有，于是故是开集。（3）设，于是存在某个，使；由于是开集，则存在.故是开集。●解释利用开集刻画邻域的“完备性”我们熟知，在度量空间中，用开集表示邻域有如下好的性质：①，至少有一个邻域，使属于该邻域；②对于的任意两个邻域，存在的另一邻域，使得(对于闭集不成立)③若的邻域中还有点，则存在的邻域含于的邻域中(分析中最有用的性质)。VU1U2xxy②③这表明：一、邻域可以用邻域来刻画，二、邻域中有更精细的邻域，易于刻画收敛性质。二、 拓扑空间的例子判断是否为拓扑，主要检查是否满足三

6、条公理：1、与是否在其中；2、对于有限交是否封闭（通常只要两个集合的交封闭）；3、对于任意并是否封闭。例1设，在上可以构造29个拓扑，如①②③④⑤⑥⑦⑧……………（共29个，其他的有同学自己列举）例2设，下列哪些是拓扑，哪些不是。如果不是请添加最少的子集，使其成为拓扑。①②③④解：①是；②不是，须添加；③不是，须添加;④不是，须添加。例3若和都是上的拓扑，则是上的拓扑吗？解：不一定。如设，则，都是上的拓扑，而不是上的拓扑，因为.例4若和都是上的拓扑，则是上的拓扑吗？解：是。（1）；（因为同属于和）（2）若；（3）将（2）中改为，仍成立。★下面给出几个常见的重要

7、拓扑的例子。[1]离散拓扑——非空集合的所有子集构成的集族（包括）。[2]平庸（平凡）拓扑——是非空集合，。[3]余有限拓扑——设是无穷集，称是的有限集为上的余有限拓扑。[4]余可数拓扑——设是不可数无穷集，称是的可数子集为上的余可数拓扑。[5]欧氏拓扑——是全体实数集合，称是若干个开区间的并为上的欧氏拓扑。(注：“若干”可表示无穷，有穷或零个，故均含于其中)★严格讲，上述集族为拓扑需要证明，下面仅证明[3](余有限拓扑)证明：（1）因为是有限集，而，则；又由定义，在中，即Î。（2）设，若中有一个是，则自然有；若均非空，则存在的有限子集，使得（有限集），于是，

8、由于为有限集，则仍是有限集，则是有限集