矩阵的概念与线性运算

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1、第二章矩阵§2.1矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地称为矩阵,它有行、列，共个元素，其中第行、第列的元素用表示。通常我们用大写黑体字母、、……表示矩阵。为了标明矩阵的行数和列数,可用或表示。矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作。两个矩阵、相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作。如果矩阵的行、列数都是，则称为阶矩阵，或称为阶方阵。阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。阶矩阵的元素按原次序构成

2、的阶行列式，称为矩阵的行列式，记作。在阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为，即矩阵（只有一行）又称为维行向量；矩阵（只有一列）又称为维列向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母，，，……表示。向量中的元素又称为向量的分量。矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即。二．矩阵的加、减运算如果矩阵、的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为、。分别称为矩阵、的和与差。表示将、

3、中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如，三．矩阵的数乘矩阵与数相乘记为或。表示将乘中的所有元素得到的矩阵。例如，当时，我们简记，称为的负矩阵。矩阵的加减与数乘统称为线性运算。不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律，这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、移项变号、正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。例2.1设，，已知，求。解在等式中移项得，再除以2得。通过心算立得例2.2设为三阶矩阵。已知，求行列式的值。解设，则。显然行列式中每行都有公因子3，因此。§2.2矩阵的乘法与转置一．矩阵的乘法如

4、果矩阵的列数与矩阵的行数相同，即是矩阵，是矩阵，那么、可以相乘，记为或，称为矩阵、的乘积。表示一个矩阵，矩阵的构成规则如下：的第1列元素依次与的各行元素相组合，形成的第1列元素；的第2列元素依次与的各行元素相组合，形成的第2列元素；……以此类推，最后的第列元素依次与的各行元素相组合，形成的第列元素。这里的“组合”表示两两相乘再相加。若记，，，且，则乘积矩阵的元素可用公式表示为（=1，2，…，；=1，2，…，）（2.1）例如利用矩阵的乘法可以简化线性方程组的表示形式。设（2.2）是含有个方程、个变量的线性方程组，若记，，则方程组可表示为矩阵方程（2.3）

5、这个矩阵方程两端都是矩阵，因此相当于个等式，恰好是（2.2）式的个方程。（2.3）式称为线性方程组（2.2）的矩阵形式。以后，矩阵形式（2.3）将成为我们表示线性方程组的主要形式。其中称为线性方程组的系数矩阵，称为变量列，称为常数列。二．矩阵乘法的性质两个矩阵相乘要求行、列数相匹配，即在乘积中，矩阵的列数必须等于矩阵的行数，因此当有意义时，未必有意义。即使和都有意义，它们也可能表示不同阶数的矩阵。比如是矩阵（行向量），是矩阵（列向量）时，是矩阵而为矩阵。当、都是阶方阵时，情况又怎样呢？例2.3设，，，求、、。解利用乘积的构成规则容易得到从例2.3可以看

6、到矩阵乘法的两个重要特点：（1）矩阵乘法不满足交换律。即一般情况下。（2）矩阵乘法不满足消去律。即从和不能推得。特别地，当时，不能断定或者。这两个特点与数量乘法的规律不同，所以在数量运算中形成的交换与消去习惯必须改变。矩阵相乘时要注意顺序，有左乘、右乘之分。不过，矩阵的自乘无需区别左乘右乘，因此，可以引入矩阵乘幂的记号，比如这里是阶方阵。方阵的乘幂显然有下列性质，其中、是自然数。但是因为、的乘积不能交换顺序，所以一般情况下，当时，。这与数量的乘幂运算规则大不相同。例2.4设，求。解本例中，与多项式有类似的形式，因此称它为矩阵多项式。一般地，如果一个矩阵

7、式的每一项都是带系数的同一方阵的非负整数幂，“常数项”（零次幂项）是带系数的单位矩阵，那么称这个矩阵式为关于的矩阵多项式。如果矩阵、满足，那么称、是可交换的。可交换是个很强的条件，下面介绍两种特殊情况。一种是对角矩阵。容易验证（2.4）交换乘积的顺序，结果显然相同。由此可知：两个同阶对角矩阵是可交换的，它们的乘积矩阵由对应位置元素的乘积构成。另一种是单位矩阵。设,、分别为阶、阶单位矩阵，不难验证，。特别地，当时（2.5）可见单位矩阵在矩阵乘法中与数1在数量乘法中有类似的作用。单位矩阵与任何同阶矩阵可交换。矩阵的乘法虽然不满足交换律，但仍满足下列运算规律

8、（假设运算都是可行的）：（1）乘法结合律：（2）左、右分配律：，（3）数乘结合律：这些运算律的