向量矩阵的概念与运算

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1、第2章向量与矩阵2矩阵的概念与运算下页1向量的概念与运算第1节向量的概念与运算定义1n个数a1，a2，，an组成的有序数组(a1,a2,,an)，称为n维向量，记为a，其中ai(i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.a=(a1,a2,,an)，a1a2an.a=写成列的形式，称为列向量，记为n维向量写成行的形式，称为行向量，记为下页1.1向量的概念下页(-a1,-a2,,-an)T，为向量a的负向量，记作-a.称向量(0,0,,0)T为零向量，记作o.称向量如果向量a=(a1,a2

2、,,an)T与向量b=(b1,b2,,bn)T都是n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a＝b.a1a2ana=本教材约定向量的形式为列向量，即或记做a=(a1,a2,,an)T向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+o=a(4)a+(-a)=o(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=k(la)(8)1a=a1.2向量的运算定义2设,则（1）（2）,k为常

3、数.下页向量的加法向量的数乘下页向量的减法设a、b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为:a-b,即对应分量相减.=a+(-b)例1．设解：解：a+2g+(-a)=b+(-a)；两边加a的负向量a+(-a)+2g=b+(-a)；交换律o+2g=b-a；性质4a+(-a)+2g=b-a；约定（减法）2g=b-a；性质3½*2g=½*(b-a)；数乘运算1g=½*(b-a)；恒等变换g=½*(b-a)；性质8下页例2．设说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.(计算结果，略.)定义3设a=(a1

4、,a2,,an)T与b=(b1,b2,,bn)T是两个n维向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a,b)，或aTb.向量的内积例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,则a与b的内积为(a,b)=(-1)2+10+0(-1)+23=4.下页内积的性质设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数.(1)(a,b)=(b,a)；(2)(ka,b)=k(a,b)；(3)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)；(4)(a,a)0，当且仅当a=o时，有(a,a)=0.下页向量的长度定义4对

5、于向量a=(a1,a2,,an)T，其长度(或模)为例如，向量a=(-1,2,0,2)T的长度为向量长度的性质（了解）(1)非负性:

6、

7、a

8、

9、0，当且仅当a=o时，有

10、

11、a

12、

13、=0；(2)齐次性:

14、

15、ka

16、

17、=

18、k

19、

20、

21、a

22、

23、(k为实数)；(3)三角不等式:

24、

25、a+b

26、

27、≤

28、

29、a

30、

31、＋

32、

33、b

34、

35、；(4)柯西-布涅科夫斯基不等式:

36、(a,b)

37、

38、

39、a

40、

41、

42、

43、b

44、

45、.下页长度为1的向量称为单位向量.向量的单位化（标准化）下页例4．n维单位向量组e1，e2，，en，是两两正交的：(ei,ej)=0(ij)

46、.例3．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.正交向量组定义5如果向量a与b为非零向量，它们的夹角θ定义为：若(a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直),.下页定义6如果m个非零向量组a1，a2，，am两两正交，即(ai,aj)=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组.下页显然,例4中n维单位向量组e1，e2，，en为标准正交向量组.第2节矩阵的概念与运算2.1矩阵的概念2.2矩阵的运算2.3方阵

47、的行列式2.2.5转置矩阵及对称方阵2.2.1矩阵的加法2.1.2数与矩阵的乘法2.2.3矩阵的乘法2.2.4方阵的幂先看下面的两个同解方程组(1)和(2)：2.1.0问题的提出下页显然方程组(2)比(1)简洁,求解容易,那么,怎样完成由(1)到(2)的变化呢？(1)(2)方程组(1)行最简形矩阵方程组(2)初等行变换矩阵在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am

48、2x2++amnxn=bm(a11a12a1nb1)(a21a22a2nb2)(am1am2amnbm)→→→→这些有序数组可以构成一个表a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am