反比例函数图像面积问题

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1、反比例函数中的面积问题 学生学案（课前任务）1、写出与反比例函数有关的一些问题的思维导图；2、思考题：如图，S正方形OABC=1点O为坐标原点，点B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图像上点P（m,n）是函数y=（k＞0，x＞0）的图像上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.(友情提示：考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况)(1)求B点的坐标是___________;k=__________;(2)当S=时，点P的坐标是_______________;     

2、   (3)写出S关于m的 函数关系式及其自变量的取值范围. 课程设计：【教材分析】本节课是在学生对反比例函数基础知识、基本技能、基本思想、基本应用有一定的系统归纳与总结的基础上进行的。不仅要完善学生的知识结构图，而且通过系列有层次的训练，让学生加深对函数内涵以及变化与对应的理解。鉴于以上认识，在再现巩固的基础上，作一些适当的拓展，加强它与面积、勾股定理、一次函数等知识的联系，使学生融汇知识，进而进一步理解知识。【教学目标】1、熟练用反比例函数关系式，已知两个量求出第三个量.2、理解反比例函数中一些特殊图形的面积特点及与“k”之间的关

3、系，并能用于计算.3、构建反比例函数的知识体系.4、能解答反比例函数背景下的一些综合问题.【教学重难点】教学重点：1、用反比例函数关系式，已知两个量求第三个量.2、理解反比例函数中一些特殊图形的面积特点与“k”之间的关系，并能用于计算.3、构建反比例函数的知识体系.教学难点：1、反比例函数背景下的综合问题.教学过程：一、回顾旧知，构建知识体系二、知能训练，提高认识（一）若点P在反比例函数图像上【例题1】点P在反比例函数y=上，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，求S△POM,S矩形OMPN.                      

4、       【变式1】点P在反比例函数y=上，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，求S△POM,S矩形OMPN.【变式2】点P1，P2在反比例函数图象的同一支上，分别过点P1，P2作x轴y轴的垂线，如图所示，求证：S1=S2      .【变式3】如图，在反比例函数y=(x＞0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=     ;【变式4】在反比例函数y=(x＞0)的图象上，有点P1，P2，P3，

5、……Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，…n．分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3……Sn，请猜想：S1+S2+S3……+Sn=      ；【练   习】讲解课前思考题。【设计意图】从反比例函数k的几何意义出发，本着从特殊到一般的数学思想，层层递进，符合学生的认知水平。（二）若点P不在反比例函数图像上【例题2】如图，已知点A，B在双曲线y=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，① 若S△ABP=3，求k的值；② 求证S△ABP为定值.

6、  【例题3】已知点P在反比例函数y=的上方，且点 P坐标为（m，），PM⊥x轴于点  C，交y=的图像于点A,PN⊥y轴于点N，交y=的图像于点B，BD⊥x轴于点D，AC⊥y轴于点C，BD与AC相交于点H. (1)求证：S△OBN=S△OAM (2)求证：S四边形PAOB不变(3)求：PA：AM的比值.(4)求S四边形HCOD .(5)连接AD、AB、BC、CD，判断AB、CD的位置关系，并说明理由。【设计意图】从点P在反比例函数图像上发散到点P不在反比例函数图像上，(1)(2)(4)两问中面积的问题可以得到类似的结论，便于学生对同

7、一类问题的学习和总结。(3)反比例函数中线段与坐标的问题，需从坐标的特点解决问题。(5)解决的方法有3种：①从线段的K值相同，两直线平行的角度，转化成一次函数的问题；②用“等积法”证明高相等，从而得到两直线平行；③也可利用三角形相似或三角函数的知识证明角相等，从而证明两直线平行。三、反思小结，观点提炼问题1：通过本节课的学习，你对反比例函数有了哪些新的认识？问题2：涉及到哪些常用的思想方法？四、作业训练，能力提升1、必做题：课本复习题第2、3、4题。2、拓展练习：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A(3，2)．

8、(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；(3)M(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y