系统的稳定性常见判据

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1、第六章系统的稳定性——系统能正常工作的首要条件系统的稳定性与稳定条件Routh（劳斯）稳定判据Nyquist稳定判据Bode稳定判据系统的相对稳定性系统不稳定现象例：液压位置随动系统原理：外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开→活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→平衡位置→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启……①随动：活塞跟随阀芯运动②惯性：引起振荡③振荡结果：①减幅振荡（收敛，稳定）②等幅振荡（临界稳定）③增幅振荡（发散，不稳定）一、系统的稳定性与稳定条件一、系统的稳定性与稳定条件结论：系统是否稳定，取决于系统本身（结构

2、，参数），与输入无关不稳定现象的存在是由于反馈作用稳定性是指自由响应的收敛性定义：系统在初始状态作用下无输入时的初态输入引起的初态输出（响应）收敛（回复平衡位置）系统稳定发散（偏离越来越大）系统不稳定系统稳定条件线性定常系统：强迫响应输入引起的自由响应系统的初态引起的自由响应自由响应si:系统的特征根系统稳定条件当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位于[s]平面的左半平面）自由响应收敛，系统稳定若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）自由响应发散，系统不稳定系统稳定条件若有特征根sk=±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点位于[s]平面的左半

3、平面自由响应等幅振动，系统临界稳定若有特征根sk=0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]平面的左半平面自由响应收敛于常值，系统稳定简谐运动系统稳定条件结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。线性定常系统稳定的充要条件：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）均具有负实部（位于[s]平面的左半平面），则系统稳定。如何判别？求出闭环极点？实验？①高阶难求②不必要如果不稳定，可能导致严重后果思路：①特征方程→根的分布（避免求解）②开环传递函数→闭环系统的稳定性（开环极点易知，闭环极点难求）稳定判据二、Routh（劳斯）稳定判据——代数判据（依据根与系数的关系判断根

4、的分布）系统稳定的必要条件设系统特征方程为：s1,s2,…,sn：特征根因为比较系数：系统稳定的必要条件：各系数同号且不为零或：an>0,an-1>0,…,a1>0,a0>0二、Routh（劳斯）稳定判据系统稳定的充要条件特征方程：Routh表：其中：Routh判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。例1系统的特征方程D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0Routh表：第一列各元符号改变次数为2，因此系统不稳定系统有两个具有正实部的特征根例2已知=

5、0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0由系统稳定的充要条件，有(1)7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。(2)，亦即K<34.6。故能使系统稳定的参数K的取值范围为00,a1>0,a0>0,三阶系统(n=3)稳定的充要条件为：a3>0,a2>0,a0>0,a1a2－a0a3>0特别：三、Nyquist稳定判据——几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）幅角原理Ls：

6、[s]平面上一封闭曲线（不经过F(s)的奇点）设有复变函数：幅角原理：ｓ按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即包围原点N次。N=Z-PZ：Ls内的F(s)的零点数P：Ls内的F(s)的极点数三、Nyquist稳定判据开、闭环零极点与F(s)取F(s)=1＋G(s)H(s)=1+Gk(s)三、Nyquist稳定判据[s]平面上的Nyquist轨迹的选取[F(s)]与[GH]平面上的Nyquist轨迹F(s)=1+Gk(s)①s沿虚轴L1：s=jω，（ω从－∞到+∞）；LGH：G(jω)H(jω)s沿L2：s→0；LGH：②LF包围原点的圈数=LGH包围（

7、－1，j0）点的圈数N=Z-P三、Nyquist稳定判据当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数）对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围（-1，j0）点。确定P作G(j)H(j)的Nyquist图运用判据判据例1三、Nyquist稳定判据三、Nyquist稳定判据例2开环不稳定，闭环稳定P=