【7A文】系统的稳定性和代数稳定判据.ppt

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1、Monday,October04,20211第五节系统的稳定性和代数稳定判据Monday,October04,20212一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。稳定的充要条件和属性稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平

2、衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。Monday,October04,20213设系统或元件的微分方程为：上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。这项相当于系统齐次微分方程的解。+系数取决于初始条件的多项式稳定的充要条件和属性式中：x(t)—输入，y(t)—输出为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）Monday,October04,20214线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根

3、。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。稳定的充要条件和属性前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。Monday,October04,20215充要条件说明如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为

4、临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定S平面Monday,October04,20216对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定的。对于二阶系统，只有都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。充要条件说明注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。Monday,October04,20217二、劳思—赫尔维茨稳定性判据（一）、劳思判据设线性系统的特征方程为则该系统稳定的充要条件为：特征方程的全部系数为正值；由特征方程

5、系数组成的劳思阵的第一列也为正。劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，…项系数组成，第二行为2，4，6，…项系数组成。劳斯判据Monday,October04,20218Monday,October04,20219劳斯判据以下各项的计算式为：Monday,October04,202110劳斯判据依次类推。可求得Monday,October04,202111劳斯判据例子[例]：特征方程为：，试判断稳定性。[解]：劳斯阵为：稳定的充要条件为：均大于零且Monday,October04,202112特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结

6、论；劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。[例]：系统的特征方程为：-130（2）100（）劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面。劳斯判据特殊情况Monday,October04,202113劳斯判据特殊情况劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。[处理办法]：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。[例]：令则故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。Mo

7、nday,October04,202114劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。劳斯判据特殊情况例如:[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。Mo