中考几何证明题

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1、.几何证明◆典例精析【例题1】（天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．（1）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；（2）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2；（3）如图③，当n是大于2的正整数时，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O2、⊙O3、…、⊙On－1均与AB边相切，求rn．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=

2、=10．如图，设⊙O1与Rt△ABC的边AB、BC、CA分别切于点D、E、F，连接O1D、O1E、O1F、AO1、BO1、CO1．于是，O1D⊥AB，O1E⊥BC，O1F⊥AC，S△AO1C=AC·O1F=AC·r1=3r1，S△BO1C=BC·O1E=BC·r1=4r1，S△AO1B=AB·O1D=AB·r1=5r1，S△ABC=AC·BC=24．..又∵S△ABC=S△AO1C+S△BO1C+S△AO1B，∴24=3r1+4r1+5r1，∴r1=2．（2）如图，连接AO1、BO2、CO1、CO2、O1O2，则S△AO1C=AC·r2=3r2，

3、S△BO2C=BC·r2=4r2，∵等圆⊙O1、⊙O2外切，∴O1O2=2r2，且O1O2∥AB．过点C作CM⊥AB于点M，交O1O2于点N，则CM==，CN=CM－r2=－r2，∴S△CO1O2=O1O2·CN=（－r2）r2，∴S梯形AO1O2B=（2r2+10）r2=（r2+5）r2．∵S△ABC=S△AO1C+S△BO2C+S△CO1O2+S梯形AO1O2B，∴24=3r2+4r2+（－r2）r2+（r2+5）r2．解得r2=．（3）如图，连接AO1、BOn、CO1、COn、O1On，则..S△AO1C=AC·rn=3rn，S△BOnC=

4、BC·rn=4rn，∵等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且均与AB边相切，∴O1、O2、…、On均在直线O1On上，且O1On∥AB，∴O1On=（n－2）2rn+2rn=2（n－1）rn．过点C作CH⊥AB于点H，交O1On于点K，则CH=，CK=－rn．∴S△CO1On=O1On·CK=（n－1）（－rn）rn．S梯形AO1OnB=[2（n－1）rn+10]rn=[（n－1）rn+5]rn．∵S△ABC=S△AO1C+S△BOnC+S△CO1On+S梯形AO1OnB，∴24=3rn+4rn+（n－1）（－rn）rn+[（n－1）rn+5

5、]rn，解得rn=．评析：通过面积关系，建立所求半径的等量关系式，也是解决几何计算题一种重要的途径．【例题2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E点，过点E作直线与AF垂直交AF的延长线于D点，交AB延长线于C点．（1）求证：CD与⊙O相切于点E；（2）若CE·DE=，AD=3，求⊙O的直径及∠AED的正切值．解题思路：（1）连OE，证OE⊥CD；（2）利用三角形相似线段成比例求半径．..解：（1）连OE，易证∠OEA=∠OAE=∠EAD，∠OED=90°，得OE⊥CD，CD与⊙O相切．（2）连BE有BE=OE，易证Rt△ABE∽R

6、t△AED，△CBE∽△CEA，得，设⊙O半径为R，则CO=R+，CA=+2R，∴，解得R=或R=－1（舍），∴⊙O直径为，由CE2=CB·CA=，∴CE=，DE=，tan∠AED=2．评析：本题第（2）小题是几何计算，不少考生怕这种题型，因它与证明题不同，证明题的结论是确定的，有目标可寻，而计算题则需要根据题设条件和学过的知识去分析和探索，包括一定的运算能力，这就要求考生平时多练习，多思考，增强信心，才能攻克这样的难关．◆探究实践【问题】（重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、

7、BC于M、N、E、F，设a=PM·PE，b=PN·PF，解答下列问题：（1）当四边形ABCD是矩形时，见图①，请判断a与b的大小关系，并说明理由；（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图②，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，设=k，是否存在这样的实数k，使得？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由．..解题思路：（1）利用面积关系可证a=b；（2）可证SPEAM=PM·PE．sin∠MPE，SPNCF=PN·PF，sin∠FPN．由SPEAM=SPNCF，可得a=b；（3）利用等高三角形

8、面积比等于底边之比可求k值．（1）解：a=S矩形PEAM=S△BDA－S△PMB－S△PDE，b=S矩形PNCF=S△DBC－S△BFP