复数及数系的扩充

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1、目标认知考试大纲要求：　　1.理解复数的基本概念；　　2.理解复数相等的充要条件；　　3.了解复数的代数表示法及其几何意义；　　4.会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。重点、难点：　　复数的概念，复数的代数形式及其加减运算知识要点梳理:知识点一：复数的基本概念1.虚数单位:　　（1）它的平方等于，即；　　（2）与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；　　（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；　　（4）的周期性：，，，（）.2.概念　　形如（）的数叫复数，叫复数的实部

2、，叫复数的虚部。　　说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。3.复数集　　全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：　　对于复数（），　　当且仅当时，复数是实数；　　当且仅当时，复数叫做虚数；　　当且仅当且时，复数叫做纯虚数；　　当且仅当时，复数就是实数0.　　所以复数的分类如下:　　（）5.复数相等的充要条件　　两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：　　如果，那么.　　特别地:.　　应当理解:　　（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数

3、就唯一确定；反之一样.　　（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.　　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。　6.共轭复数：　　两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：　　复数和（）互为共轭复数。知识点二：复数的代数表示法及其四则运算1.复数的代数形式:　　复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。2.四则运算　　；　　；　　复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。知识点三：复数的几何意义1.复平面、实轴、

4、虚轴：　　点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。　　实轴上的点都表示实数。　　对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。　　复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即　　复数复平面内的点　　这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。2.复数的几何表示　　（1）坐标表示:

5、在复平面内以点表示复数（）；　　（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.　　　　向量的长度叫做复数的模，记作.即.　　理解:　　（1）向量与点以及复数有一一对应；　　（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。3.复数加法的几何意义：　　如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。4.复数减法的几何意义：　　两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。规律方法指导　　1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；　　2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；　　3.

6、在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；　　4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。经典例题精析类型一：复数的有关概念　　1.求当实数取何值时，复数分别是：　　（1）实数；　（2）虚数；　（3）纯虚数。　　思路点拨:利用复数的有关概念易求得。　　解析：　　（1）当即或时，复数为实数；　　（2）当即且时，复数为虚数；　　（3）当即m=-1时，复数为纯虚数.　　总结升华：　　复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一

7、些概念的等价表达式要熟知。比如：　　()；是纯虚数（）；…….　　举一反三：　　【变式1】为何实数时，复数分别是　　　　　　(1)实数；(2)纯虚数；　(3)零.　　【答案】：　　　　　　(1)当即或时，复数是实数；　　　　　　(2)当即当时，复数是纯虚数；　　　　　　(3)当即时，复数是零。　　【变式2】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足：　　　　　　(1)是纯虚数；(2)对应的点位于复平面的第二象限。　　【答案】　　　　　　(1)当即时，复数是纯虚数；　　　　　　(2)当即或时，　　　　　　　复数对应的点位于复平面的第二象限.　　【变式3】设,（）,且是纯

8、虚数，求、