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1、第二章导数与微分典型例题分析客观题例1设在点可导,为常数,则()答案解例2（89303）设在的某个邻域内有定义,则在处可导的一个充分条件是()存在存在存在存在答案解题思路(1)对于答案，不妨设，当时，，则有存在，这只表明在处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故不对.(2)对于答案与因所给极限式子中不含点处的函数值，因此与导数概念不相符和.例如，若取则与两个极限均存在，其值为零，但，从而在处不连续，因而不可导，这就说明与成立并不能保证存在，从而与也不对.(3)记,则与是等价的,于是所以条件是存在的一个充分必要条件.例3(00103)设则在点可导的充要条件为()存在存在存在存在答案解
2、题思路(1)当时,.所以如果存在,则必有若记,当时,,所以于是这就是说由存在能推出存在.但是由于当时,恒有,而不是,因此存在只能推出存在,而不能推出存在.(2)当时,,于是由于当时,既能取正值,又能取负值,所以极限存在与存在是互相等价的.因而极限存在与存在互相等价.(3)当时,用洛比塔法则可以证明,所以由于,于是由极限存在未必推出也存在,因而未必存在.(4)在点可导一定有存在,但存在不一定在点可导.例4(98203)函数有()个不可导点答案解题思路当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点考察导数的存在性.解
3、将写成分段函数:(1)在附近,写成分段函数:容易得到由于,所以不存在.(2)在附近,写成分段函数:由于,所以不存在.(3)在附近,写成分段函数:由于,所以存在.综合上述分析,有两个不可导的点.例5(95103)设具有一阶连续导数,则是在处可导的()必要但非充分条件充分但非必要条件充分且必要条件既非充分也非必要条件答案分析从在的导数定义着手.将解于是推知的充分必要条件是例6(92103)设函数,则使存在的最高阶数.答案解题思路应先去掉中的绝对值,将改写为分段函数解由得且又,所以存在.所以存在.即.因而使存在的最高阶数是2.例7存在的最高阶导数的阶数等于()A0B1C2D3答案解题思路
4、注意,所以只需考察在点的情况.例8(96203)设在区间内有定义，若当时，恒有，则必是的()，答案解由题目条件易知,因为所以由夹逼定理于是.例9(87103)设则为()答案解题思路因为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义，又由于是型未定式,可用洛必达法则求极限.解当时,与是等价无穷小,所以当时,与是等价无穷小.因而例10(88103)设可导且,则时,在处的微分与比较是()的无穷小.等价同阶低阶高阶答案解题思路根据在处的微分的定义:.解,可知与是同阶的无穷小.例11(87304)函数在处()连续,且可导连续,不可导不连续不仅可导,导数也连续答案解题思路一般来说,研究分段函数在
5、分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步:(1)讨论连续性;(2)讨论可导性.解(1)讨论函数在点处的连续性由于,可知函数在点处是连续的.(2)讨论函数在点处的可导性由于不存在,所以,函数在点处不可导.例12设在点可导,但是导数在点不连续,则必须满足()答案解题思路(1)当时,下述极限不存在:因此不存在.当时,所以.这就是说,只有当时,才存在,所以选项可以被排除.(2)当时当且仅当,即时,,所以当且仅当时,在点可导,但是在点
6、不连续.例13(95403)设可导，且满足条件则曲线在处的切线斜率为()答案解记,则有例14设,则()答案解题思路求高阶导数的一般方法是:先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数.,例17(90103)设函数有任意阶导数,且,则.答案解题思路这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数.解由有任意阶导数且,可知,依此由归纳法可知注意(1)当时虽然也正确,但当就不正确了,所以将排除之;(2)在求导数时,可将函数看成是由与复合而成的,则根据复合函数的求导法则,故.(初学者可能会这样做:,后面丢掉一个因子.例18(91303)若曲线和在点处相切，其中是常数,则()答案解
7、题思路两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等.解曲线在点处的斜率是另一条曲线是由隐函数确定,该曲线在点处的斜率可以由隐函数求导数得到:对于方程两边求导得到,解出得到此曲线在点处的斜率为令,立即得到.再将代入中得出例19设定义在，且都在处连续，若，则(),答案解题思路分析函数的表达式,并运用在处连续这一关键条件.解既然在处连续,于是必有,于是必有.于是又有.例20(99103)设其中是有界函数,则在处()极限不存在极限存在,但不连续
