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1、数列与递推一、等差、等比数列数列是定义在自然数集或它的子集上的一个函数，求数列的通项公式相当于求这个函数的表达式.同时，数列的前n项的和也组成一个数列，且，.数列的有关问题，往往围绕通项与求和问题展开.等差数列与等比数列是两种最基本、最常见的数列.我们应当熟知一下性质.等差数列的性质：①若为等差数列，则（k为常数）仍为等差数列.②若，为等差数列，则（，为常数）仍为等差数列.③若为等差数列，则40的充要条件是.等比数列的常用性质：①若为等比数列，则（k为常数）仍为等比数列.②若，为等比数列，则（，为常数）仍为等比数
2、列.③若为等比数列，则的充要条件是.例1已知一个等差数列其中有三项：13、25、41.试证明：2009为此等差数列中的一项.解方法1：设已知等差数列的公差为d，则，即由得.由得.40因为其中,所以2009为此等差数列中的一项.方法2：设已知的等差数列的公差为d,则,即假设存在使得(3)即得.当时,,即,其中.所以2009为此等差数列中的一项.方法3：设13、25、41所在的等差数列为40，则37必为此数列中的一项（因为25为13、37的等差中项），由，可以构造一个等差数列（分两种情况讨论）：(1)…,13,17,
3、21,25,29,33,37,41,…易知，这个等差数列一定是数列的一个子列，此时公差，而，所以2009为此等差数列子列中的一项.（2）…,41,37,33,29,25,21,17,13,…易知，这个等差数列一定是数列的一个子列，此时公差，而，所以2009为此等差数列子列中的一项.综合(1)、(2)得2009为此等差数列中的一项.方法4：设13、25、41所在的等差数列为，则而与公约数为2或4或，构造出含有13、25、41三项公差d分别为2或4或的等差数列的子列.仿方法3便可证得2009为此等差数列中的一项.40
4、方法5：定理各项为整数的等差数列，公差为d的充要条件是各项为整数的数列中的任一项被整数d除余数相同（证明略）.设已知的等差数列的公差为d,依题意,不妨取,且.当且仅当时,,,此时,由定理知2009为此等差数列中的一项.例2各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.分析已知公差，那么等差数列的各项都可以用首项表示出来，于是根据第二个条件，就可以得到一个关于和项数n的不等式.解不妨设等差数列的公差为4，由题设条件可得，40即，整理得①当且仅当时，至
5、少存在一个实数满足不等式①.于是由得，即.注意到，，故满足条件的自然数n的最大值为8，即满足题设条件的数列至多有8项.例3设数列与的通项分别为,,它们的公共项由小到大排成数列，求的前n项的和.分析是等比数列，是等差数列，探索两个数列公共项排成的数列的特征，求出通项公式或求和公式.40解由题设条件易知，.设的第m项与的第k项相等，并设这是的第n项，即.由于是递增的，它的第m+1项为，显然不是的项；而的第m+2项为，这是的项，从而也是的第n+1项：.由此可见，是首项为8、公比为4的等比数列，所以它的前n项的和是.例4
6、数列满足：，且对每个，，是方程40的两根，则___________.分析关键是求出的通项公式，由条件得出关系式再进行变形.解对每个，，，可知，因此是一个公比为-1的等比数列，其首项为，故，即，则，于是，因此.例5正项数列满足40，，，，单调递增且成等比数列，为的前n项和，则的值是________.分析已知条件等式变形，以显现数列的性质，便于求.解由已知有①所以，而，因此，可知，解得.又因为，，单调递增知.再由①式得②得，因此，故40是以3为周期的数列，可知，因此，∴.例6设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，
7、证明：（1）若，且，则；（2）若，则.分析根据，可得，利用均值不等式进行放缩可证明；第（2）小题的证明显然要用到第（1）小题的结论.解设非负等差数列是首项为40，公差为.（1）因为，所以，，，从而有.因为，所以有.于是.（2）40.又因为，所以有.说明本题把等差数列的知识和不等式的证明结合在一起，均值不等式的恰当运用是解题的关键.例7．设等差数列的前项和为，若，则．（2011年全国联赛B卷一试第一题）解：因为是等差数列，所以于是，所以．40二、递推数列一阶递归数列的一般形式为：其特例为：（1），这就是等比数列.（
8、2）.当时数列为等差数列.当时,可用待定系数法求解.令,求得，从而有，所以数列是首项为，公比为p的等比数列.（3）.40两边同除以,得,令,则,由此可用累加的方法求出,从而求出.(4).解决这类问题的思想方法,通常也是利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列.例8设，，试求数列的通项.分析，，，40，……至此已猜出.这一猜想是否正确，有待于证明.证：根据分析，已猜出，
