《经典功率谱估计》PPT课件

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1、第十一章经典谱估计11.1概述11.2自相关函数的估计11.3经典谱估计的基本方法11.4经典谱估计的质量11.5经典谱估计的改进11.6经典谱估计算法比较11.7短时傅里叶变换请抓住并搞清楚如下四个问题：功率谱为什么要估计？如何估计？如何评价估计质量？如不理想，如何改进？11.1概述平稳随机信号功率谱的两个定义：随机信号的单个样本求均值运算求极限运算集总平均两者等效平稳信号单一样本可将看作能量信号，因此，可对它作傅立叶变换，并得到功率谱：问题：的功率谱和单个样本的功率谱有何关系？和整个随机信号的功率谱有何关系？截短1.求极限：2.求均值：单一样本的功率谱不能收敛到所有样本

2、的功率谱，因此必须有求均值运算，此即如下定义的来历：各态遍历信号也是如此。双求和变成单求和：证明了两个公式等效。所以自相关函数是集总自相关。证明：功率谱的两个定义都要求：样本无穷多，时间无限长，即需要集总平均。功率谱估计：古老而又年轻的话题！实际工作中，我们往往能得到的是：1.单一的样本；2.单一样本的有限长数据；问题：如何用这单一样本的有限长数据去估计原随机信号真实的自相关函数和功率谱11.2自相关函数估计目的：自身估计的需要；功率谱估计的需要集总自相关时间自相关定义：实际求出的自相关函数近似质量如何EstimationEstimateEstimator（估计子）估计方法

3、：从估计方法上看，实际上是把随机信号“视为”单样本有限长的确定性信号。问题是：偏差自相关函数估计的质量：估计方法单个样本1.偏差来自定义所有样本所以：含义渐近无偏估计对固定的N，此结论给出了m的选取原则在数据上加矩形窗，长度为N，该矩形窗函数的自相关函数正是三角窗！注意矩形窗加在数据上，三角窗加在相关函数上，体现在估计的自相关函数的均值上。那儿来的三角窗？方差2.方差来自定义包含两项前面结果四阶统计量！由：最后导出：有：渐近一致估计零均值高斯分布3.自相关函数的计算已知单个样本的N点数据估计两个方法:（1）直接按定义：最大长度（2）利用FFT：Step1:将补个零得;Ste

4、p2:对做FFT,得；Step3:对求幅平方，得；Step4:由得，对其作IFFT,得。思考：和有何关系自相关函数的另一个估计方法（估计子）：很容易证明：是的无偏估计，但方差性能不好。在一些谱估计的方法中，有时用到该公式。要求：很好掌握自相关函数的估计方法及估计性质。11.3经典谱估计问题的提出：对随机信号，我们往往只能得到它的：1.单一的样本；并且仅是2.单一样本的有限长数据；如何用这N数据去估计原随机信号真实的功率谱1.周期图（Periodogram）法：经典谱估计中有两个基本的方法：思路：对做DTFT(DFT),得到频谱；对该频谱求幅平方，再除以N，即得到“周期图”功

5、率谱，以此作为对真谱的估计。2.自相关（Blackman-TukeyBT法）法:Step1Step2因为先要估计自相关函数，所以又称间接法。与此相对应，周期图法又称直接法。3.直接法和间接法的关系：需要考虑两种情况：（一）（二）数据的范围自相关函数的范围（一）比较用两种方法的估计出的离散谱：2N点的谱，把所能估计出的自相关函数都使用上了，而估计自相关函数时，把N点数据也全都使用上了。对补N个零，做DFT,得到IFFT结论：在时，直接法和间接法估计的结果是一样的。使用间接法时，往往取，这时二者是不一样的。因此，直接法可看作是间接法的特例。不补零，思考：即：N点离散谱如何和相等

6、？N点离散谱（二）所以：加在自相关函数上。目的是将其截短。第二次加窗。相当于只用了部分自相关函数直接法和间接法之间的关系11.4经典谱估计的质量也分两种情况讨论主要考察的是均值方差无偏估计一致估计（一）、周期图和自相关法是等效的，统一考虑1.偏差估计值的均值自相关函数估计的性质于是有：的真实功率谱；的频谱；的频谱；三角窗；注意：三角窗频谱恒为正最后有：由于如何理解这一结果所以：周期图和自相关法都是渐近无偏估计因为：2.方差又遇到四阶矩问题，直接求解困难。（1）假定是高斯零均值的随机过程；思路：（2）求在处的协方差：定义：有关方差公式的推导不作要求。主要是掌握结论，并用来说明

7、问题。（3）令，则求解的关键推导的结果：方差（1）时经典功率谱估计不是一致估计解释：推导的结果：协方差假定在主瓣外为零；那么，在频率范围内：有（2）若的主瓣宽度为；在处，说明：随机变量在处不相关;原因：功率谱的定义中即要求极限，又要求均值；而实际的估计方法，仅靠单次实现的有限长，无极限、又无均值运算，因此产生上述问题。设想：增大数据长度，效果如何后果：使估计出的谱曲线起伏加剧；增大，的主瓣（）将变窄，因此，引起不相关的区域进一步增多，从而引起谱曲线的更加起伏，实际上是方差变大。分辨率和方差（体现在曲线起伏上），是经