Hilbert空间上线性算子广义逆的有限秩逼近理论

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1、关丁学位论文使_L}J授权的声明关于学位论文使用授权的声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学．本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文．本人离校后发表、使用学位论文或与该沦文血接相火的学术论文或成果时，筇。署名单位仍然为兰州大学．保密论文在解密后应遵守此规定．论文作者签名：童f壅导师签名一11--．原自q性声明原

2、创性声明木人郑承声明：本人所呈交的学位论文，足拒导师的指导下独立进行研究所取得的成果．学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处．除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或攒写过的科研成果．对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本声明的法律责任由本人承担论文作者签名：塞2筮Et期：2堕：兰：堡第一章概述第一章概述1．1符号简介为了方便读者阅读，我们把本文将要使JI{j的主要记号概要介绍如下ff，}it，fk上=(入，y’)B(x，Y)f“““fR”-钟““(亿≯A

3、Hif^m‘t卒问从x剑Y帕线性钾r全体；若义=Y，则配为Z(X)从x到y的有界线性算子全体；若X=Y，则记为S(X)m×％复f实)元素矩翳：的伞体秋为r的ft'／,×r。复(实)元素矩阵的全体线性算子或矩阵坼能笄了或啦位矩阵A的定义域A的值域A的零空闯n(A1的闭包“的袱A的维数Afj『=)指枷矩阶A的兆轭转W或算子A的共轭算子非奇异矩阵A的(正则>逆A的Moore．Penrose逆A的加权Moore．Penrose逆A的内逆，即A的{1)一逆A的外逆，I{!lJ以的(2)一逆具有秩Ⅳ的A的外逆，荆删型删州训㈣胪∥小‰：群第一章概述／水J，一

4、I)A{i，J，⋯，2)Ad。．I『)Ad。W以9A热以凶．删，P)QPL?MP{．AJrM1“1出(z，Y)ff=I=ff悄11A的0，J，⋯，f}一逆A的托J，⋯，I)一逆的全体矩阵A的Drazin逆算了／t的D,F·aZill,逆A的带Ⅳ权的Drazin逆A的群逆A的具有指定值域T和零空间S的{21-逆A的Bott—Duffin逆／I的广义l?otf—Duffin逆投影算子沿M到工上的投影算子到L上的J下交投影算子A在子空间T上的限制MCH的正交补空间代数直和拓扑直和Jli父拓扑血刷向量z与Y的内积向量X的范数矩阵或算子A的范数一2-一第

5、一章概述1．2引言广义逆理论是应用十分广泛的一门数学分支，它在数值线性代数，数值分析，线性规划，最优化，控制论，数理统计，反问题，信号传输，博弈论，网格理论，微分方程等重要领域有着及其广泛的应用(见[1卜【9】)因而广义逆理论与方法越来越受到人们的广泛关注．在生产实践和科学研究中，人们经常需要求解～类线性系统Ax=6，(A∈cm。“，z∈c4，b∈cm)(1．1)众所周知，当系数矩阵A为非奇异矩阵时，方程组(1．1)有唯一解z=A～b，其中A-1是满足矩阵方程：AX=XA=I的唯～的矩阵，称x为A的逆矩阵，记作x=A一1．但在实际应用中，系数矩

6、阵A为奇异矩阵的情况更为常见，此时又分为两种情况：(1)若b∈T／(A)，则称线性方程组(1，1)相容，此时方程组有无数解；(2)若b《佗(A)，此时线性方程组(1．1)不相容，没有一个z∈cn能使方程组精确相等．在这两种情况下，如何去求(1．i)的解或求得一些“最佳可能”的解便成了人们关注的问题．儿涉及到这样的矩阵方程，一般不存在通常意义下的解，但这种方程却具有某种特定意义下的解，例如：最小二乘解或极小范数解等等．为了表示或计算矩阵方程在这些特定意义下的解以及其它不同的应用目的，很多学者依据不同的条件，引出了各种不同的广义逆．广义逆的概念最早

7、时由I．Fredholm于1903年提出的【lo】，他给出了积分算子的广义逆，并称之为“伪逆”(pseudoinverse)．D．Hilbert于1904年讨论广义Green函数时，含蓄地提出了微分算子的广义逆(1l】．1920年，E．H．Moore首先利用投影算子推广了非奇异矩阵的逆矩阵的概念，即对任意的矩阵，引入了如下广义逆矩阵的概念[12】．一3_一第一章概述定义1．1[12]设A∈C““，则满足如下矩阵方程AX=风(^)，XA=％(x)(1．2)的唯一的矩阵X∈c“。”称为A的广义逆矩阵，记作At．其中马z(^)和马℃(x)分别是TL(

8、A)和n(x)上的正交投影算子．遗憾的是，E．H．Moore的开创性工作并没有得到应有的重视．在这之后二十年中，广义逆很少被人注意，直到五十年代中期，