除环上某些2×2块阵的群逆

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1、目录中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．IAbstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II目录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．III符号说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ⅳ第1章绪论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11．1广义逆发展概况．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11．2矩阵群逆研究概况．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3

2、1．3本文研究的目的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．41．4本文的主要工作．．．．．．．．．．．．．．．，．．．．．．．．．．5第2章预备知识．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．62．1两个矩阵乘积群逆的存在性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．62．2一些引理．．．．．．．．．．．．。．．．．．．．．．．．．．．．．72．3本章小结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8第3章三类2X2反三角块阵的群逆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．93．1主要结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

3、．．．．．．．．93．2几个例子．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．163．3本章小结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．18结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．19参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．26攻读学位期间发表的学术论文．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．27独创性声明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

4、．．．28一IⅡ一黑龙江大学硕士学位论文符号说明如果没有特殊说明，本篇论文将使用下面的符号．除环K上m×n矩阵的集合复数域K的中心A的秩A的值域A的核空间孔×n阶单位阵，当阶数显然时，记为JA的Drazin逆A的群逆表示J一似#四元数除环P的共轭转置结束符一IV—n、，C)0～噼血∽M．Do。K驴c唧～肌批厶胪∥印RP口l1．1广义逆发展概况第1章绪论广义逆矩阵是通常逆矩阵概念的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组Ax=b(1—1)当A是非奇异方阵时，则方程组(1-1)存在唯一解，并可写成z：A一16(1—2)众所周知，逆矩阵的概念只

5、对非奇异方阵才有意义，但是，在许多实际问题中，我们遇到的矩阵A并不都是方阵，即使是方阵也不都是非奇异的．在这种情况下，显然不存在通常的逆矩阵A一1，这就促使人们去思考能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G，使得其解仍可以表示成类似于(1—2)的形式?即z=Gb1920年，美国学者穆尔(E．H．Moore)首先利用投影矩阵引进了广义逆矩阵的这一概念．定义1．1设A∈Cm肌，则称满足AG=PR(A)，GA=Pa(63的矩阵G∈Cn一为A的广义逆矩阵，其中PR(a)和PR(G)分别是R(A)和R(G)上的正交投影矩阵．但在此后的30多年里，人们对广义逆矩阵

6、的研究并未给予应有的重视．直到1955年，英国学者彭诺斯(R．Penrose)以更明确直观的形式给出了广义逆矩阵的如下新定义后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期．一1一黑龙江大学硕士学位论文定义1．2设A∈Cm黼，则称满足如下矩阵方程组(a)AXA=A(∞XAX=x(c)C(AX)+=AX(d)(XA)+=xA的矩阵X∈◇×m为A的广义逆矩阵，记作A+．1956年，拉多证明了彭诺斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称A+为Moore-Penrose广义逆，简称为M—P逆，也称作伪逆，并把上面四个方程叫做Moore-Penrose方程，简称为M—P方

7、程．在此后短短的10余年中，发表了数百篇关于研究广义逆的论文(见[1—6】)．在这期问，美国数学家M．P．Drazin于1958年在结合环与半群上定义了一种广义逆，他称为preudoinverse，后称为Drazin逆，1967年，Erdelyi引进了群逆．定义1．3设A∈Cn黼，我们称满足rank(Ak“)=rank(Ak)的最小非负整数k为A的指标。记作Ind(A、一k．若A非奇异，则Ind(A、=Q；若A奇异，贝ffInd(A)≥1．定义1．4设A∈Cn肌，Ind(A)=k，若X∈c，×n满足如下矩阵方程组(1)AkXA