高中数学第三章三角函数3.3三角函数的图像与性质3.3.2正切函数的图象与性质学案湘教版

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1、3.3.2　正切函数的图象与性质[学习目标]　1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．[知识链接]1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？答　，x∈(k∈Z)2．如何作正切函数的图象？答　类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三点分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z，两线分别为直线x＝kπ＋(k∈Z)，x＝kπ－(k∈Z)．3．根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？答　从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从

2、诱导公式来看，tan(－x)＝－tanx．故正切函数是奇函数．[预习导引]函数y＝tanx的性质与图象见右表：y＝tanx图象定义域{x

3、x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}值域R奇偶性奇函数单调性在开区间(k∈Z)内递增11要点一　求正切函数的定义域例1　求函数y＝的定义域．解　根据题意，得解得所以函数的定义域为∪(k∈Z)．规律方法　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．跟踪演练1　求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．解　由题意得即－1≤tanx<1.在内，满足

4、上述不等式的x的取值范围是.由诱导公式得函数定义域是(k∈Z)．要点二　正切函数的单调性及应用例2　(1)求函数y＝tan的单调区间．(2)比较tan1、tan2、tan3的大小．解　(1)y＝tan＝－tan，由kπ－

5、π)

6、，tan＝－tanπ＝－tan＝－tan＝tan，∵－<<<，y＝tanx在上单调递增，∴tantan.要点三　正切函数图象与性质的综合应用例3　设函数f(x)＝tan.(1)求函数f(x)的定义域、单调区间及对称中心；11(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．解　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)得x≠＋2kπ，∴f(x)的定义域是.由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)得－＋2kπ

7、k∈Z.(2)由－1≤tan≤，得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)．解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．∴不等式－1≤f(x)≤的解集是.规律方法　对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解．跟踪演练3　画出函数y＝

8、tanx

9、的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性．解　由y＝

10、tanx

11、得，y＝其图象如图．由图象可知，函数y＝

12、tanx

13、是偶函数，单调递增区间为(k∈Z

14、)，单调递减区间为(k∈Z).111．函数y＝3tan(2x＋)的定义域是(　　)A．{x

15、x≠kπ＋，k∈Z}B．{x

16、x≠π－，k∈Z}C．{x

17、x≠π＋，k∈Z}D．{x

18、x≠π，k∈Z}答案　C2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为(　　)A．(kπ－，kπ＋)，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．(kπ－，kπ＋)，k∈ZD．(kπ－，kπ＋)，k∈Z答案　C3．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是(　　)A．5B．4C．3D．2答案　B解析　由tan＝解得2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴

19、x＝(k∈Z)，又x∈[0,2π)，∴x＝0，，π，.故选B.4．求函数y＝3tan的单调区间．解　因为y＝3tan＝－3tan，又y＝tan的单调递增区间，令kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，所以3kπ－π＜x＜3kπ＋2π(k∈Z)．11所以y＝3tan的单调递减区间为(3kπ－π，3kπ＋2π)(k∈Z)．111.