高中数学第三章三角函数3.3三角函数的图像与性质3.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）学案湘教版

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1、3．3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质(一)[学习目标]　1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．[知识链接]1．在如图所示的单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？答　sinα＝MP；cosα＝OM2．设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关系y＝sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y＝cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？答　正弦函数和余弦函

2、数的定义域都是R.3．作函数图象最基本的方法是什么？其步骤是什么？答　作函数图象最基本的方法是描点法，其步骤是列表、描点、连线．[预习导引]1．正弦曲线、余弦曲线正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线．2．“五点法”画图画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)；画余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式c

3、osx＝sin，要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可.10要点一　“五点法”作正、余弦函数的图象例1　用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．解　(1)列表：x0ππ2πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描点连线，如图(2)列表：x0ππ2πcosx10－1012＋cosx32123描点连线，如图规律方法　作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sinx或y＝c

4、osx的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．跟踪演练1　(1)作出函数y＝－sinx(0≤x≤2π)的简图；(2)作出函数y＝的图象．解　(1)列表：10x0π2πsinx010－10－sinx0－1010描点并用光滑的曲线连接起来，如图(2)将y＝化为y＝

5、sinx

6、，即y＝其图象如图要点二　正弦、余弦函数图象的应用例2　(1)方程x2－cosx＝0的实数解的个数是________．(2)方程sinx＝lgx的解的个数是________．答案　(1)2　(2)3

7、解析　(1)作函数y＝cosx与y＝x2的简图，如图所示，可知原方程有两个实数解．(2)用五点法画出函数y＝sinx的简图．描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．规律方法　利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求字母参数的范围问题．跟踪演练2　函数f(x)＝sinx＋2

8、sinx

9、，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．10解　f(x)＝sin

10、x＋2

11、sinx

12、＝图象如图，若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据右图可得k的取值范围是(1,3)．要点三　利用三角函数图象求函数的定义域例3　求函数y＝的定义域．解　为使函数有意义，需满足即正弦函数图象或单位圆如图所示，∴定义域为∪规律方法　求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可利用三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．跟踪演练3　求函数y＝lg的定义域．解　由＋cosx>0，得cosx>－.在[0,2π]内，cosx＝－的解为x＝或x＝.作出函数y＝cosx，

13、x∈[0,2π]及y＝－的图象：由图知在[0,2π]内cosx>－的解为0≤x<或

14、2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．答案　2解析　如图所示．4．(1)已知f(x)的定义域为[0,1)，求f(cosx)的定义域；(2)求函数y＝lgsin(cosx)的定义域．解　(1)0≤cosx<1⇒2kπ－≤x≤2kπ＋，且x≠2kπ(k∈Z)．∴所求函数的定义域为x∈[2kπ－，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋)，k∈Z.(2)由sin(cosx)>0⇒2kπ