命题及其关系、充分条件与必要条

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1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件四种命题关系及真假的判定若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．分析认清命题的条件p：ac＜0和结论q：Δ＝b2－4ac＞0，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题．根据方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根的条件，得Δ＝b2－4ac＞0，根据不等式ac＜0和不等式Δ＝b2－4ac＞0的关系，判断三个命题的真假．解逆命题：若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根，则ac＜0，是假命题．如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－

2、3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2＞0.否命题：若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，是假命题．因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．逆否命题：若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0，是真命题．因为原命题是真命题，它与原命题等价．规律总结由一个命题可以写出其他三种形式的命题，其关键是认清原命题的条件和结论，严格按照逆命题、否命题、逆否命题的形式定义依次写出．判断命题的真假，需要依据相关的定义、公式、定理和结论等知识．当然，有些命题间有“同真假关联性”，也可以作为判断的依据．变式

3、训练1写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断命题的真假．(1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0；(2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.【解析】因为原命题是“若p，则q”的形式，根据其他三种命题的构造方法，分别写出逆命题、否命题、逆否命题．(1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0，命题为真；否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0，命题为真；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0，命题为真．(2)逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数，命题为真；否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数，命题为真；逆否命题

4、：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数，命题为假．(3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7，命题为真；否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0，命题为真；逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7，命题为真．充分条件与必要条件的判定指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种作答)．(1)在△ABC中，p：A＞B，q：sinA＞sinB；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB；(4)

5、已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.分析在上述题目中，给出了四个小题．各小题内容涉及三角函数、不等式和方程的许多知识．首先认定条件和结论，再利用相关知识判断命题的真假，进一步判断p和q的关系．解(1)在△ABC中，由正弦定理=，故sinA＞sinB⇔a＞b，又由a＞b⇔A＞B，所以sinA＞sinB⇔A＞B，即p是q的充要条件．(2)因为命题“若x＝2且y＝6，则x＋y＝8”是真命题，故p⇒q；命题“若x＋y＝8，则x＝2且y＝6”是假命题，故q不能推出p.所以p是q的充分不必要条件．(3)取A＝120°，B＝30°，p不能推出q；取A＝

6、30°，B＝120°，q不能推出p．所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为P＝{(1,2)}，Q＝{(x，y)

7、x＝1或y＝2}，PQ.所以p是q的充分不必要条件．规律总结在充要条件的判断中，首先搞清哪个是命题的条件，哪个是命题的结论，准确理解充分性和必要性的含义．常用的判断方法有：①定义法直接判断；②利用逆否命题的等价性转化然后判断，特别是条件和结论都是从否定形式给出时，更有必要；③利用集合间的包含关系，转化后再判断．总之，要注意恰当利用两个条件的特点，采取适当的方法判断．变式训练２(1)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件；(2)是否存在实数m，

8、使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件．【解析】(1)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件，只要⊆{x

9、x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1，即m≥2.故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件．(2)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件，则只要⊇{x

10、x＜－1或x＞3}．故不存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件．充分必要条件的证明求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1的充分必要条