命题及其关系充分条件与必要条

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1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义基础自查1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题.否命题.逆否命题.判断真假若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有

2、关系．相同3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.联动思考想一想：否命题是命题的否定吗？答案：不是．命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论．必要条件充要条件联动体验1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案：B2．(2010·陕西卷)“a＞0”是“

3、a

4、＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充

5、分条件C．充要条件D．既不充分也不必要解析：若a＞0，则

6、a

7、＝a＞0，故

8、a

9、＞0，但

10、a

11、＞0时，如a＝－1，则a＞0不成立，故选A.答案：A3．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”答案：C4．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＞0且b＞0时，一定有a＋b＞0且ab＞0.反之，当a＋b＞0且ab＞0时，一定有a＞0，b＞0.故“a

12、＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．答案：C5．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案：2考向一　四种命题及其相互关系【例1】(2010·天津卷)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若

13、f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．答案：B反思感悟：善于总结，养成习惯1．对于命题“若A，则B”，其否命题是“若綈A，则綈B”，逆命题是“若B，则A”，逆否命题是“若綈B，则綈A”．2．“f(x)是奇函数”的否定是“f(x)不是奇函数”，而不是“f(x)是偶函数”，因为函数按照奇偶性分类除了奇函数和偶函数外，还有其他的非奇非偶函数．迁移发散1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是()A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若loga2＜0，则函数

14、f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1，在其定义域内不是减函数．答案：A考向二　四种命题的真假判断【例2】已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命

15、题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析：f′(x)＝ex－m≥0在(0＋∞)上恒成立，即m≤ex在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，